Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką apskaičiuoja Floydo–Warshallo algoritmas ir kaip greitai?

  1. AMinimalų jungiamąjį medį per O(E log V)
  2. BTrumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
  3. CTrumpiausius kelius iš vienos šaltinio viršūnės į visas kitas per O(V + E)
  4. DTopologinę tvarką per O(V²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra dvejetainės krūvos sudarymo iš n nesurikiuotų elementų metodu „iš apačios į viršų“ (bottom-up) laiko sudėtingumas?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip žiedinėje eilėje, saugomoje n talpos masyve, apskaičiuojama kita pozicija po indekso i?

  1. Ai + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. C(i + 1) mod n
  4. D2i + 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl B medžiai naudojami duomenų bazėse ir failų sistemose?

  1. AJie saugo nesurikiuotus duomenis
  2. BDidelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
  3. CJų nereikia perbalansuoti
  4. DJie naudoja mažiau atminties nei bet koks masyvas, todėl visas indeksas visada telpa operatyviojoje atmintyje
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 16 viršūnių ir 22 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 16|E| = 22
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš C į F? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo–Warshallo algoritmas yra dinaminio programavimo algoritmas, kuris paeiliui leidžia kiekvieną viršūnę naudoti kaip tarpinį tašką, sunaudodamas O(V³) laiko.

Atsakymas

B · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus nuslinkimo žemyn (sift-down) kainas per visus lygius gaunama konverguojanti eilutė, todėl krūvos sudarymas (heapify) vyksta per tiesinį laiką.

Atsakymas

D · O(n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · (i + 1) mod n

Kodėl tai yra atsakymas

Modulio operacija indeksą n − 1 grąžina į 0, todėl masyvas naudojamas pakartotinai, nepastumiant elementų.

Atsakymas

C · (i + 1) mod n
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių

Kodėl tai yra atsakymas

B medžiai viename mazge saugo daug raktų, todėl aukštis mažas ir vienai paieškai reikia nedaug bloko skaitymų; B+ medžiai dar sujungia lapus intervalų skenavimui.

Atsakymas

B · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 7

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

16 − 1 = 15

Pašalintinos briaunos

k = 22 − 15 = 7

Atsakymas

k = 7
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 1

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)CF = 0·0 + 1·0 + 0·0 + 0·1 + 1·1 + 0·0 = 1

Atsakymas

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms