Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra amortizuotas laiko sudėtingumas pridedant elementą į dinaminio masyvo, kuris prisipildęs padvigubina savo talpą, galą?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?

  1. AJis du kartus paleidžia Dijkstros algoritmą ir palygina abu atstumų rezultatus
  2. BJis patikrina, ar kuri nors briauna turi neigiamą svorį
  3. CJis suskaičiuoja ciklus paieška gilyn
  4. DPo V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas teisinga apie nekryptinio grafo gretimumo matricą?

  1. AJos pagrindinėje įstrižainėje visada yra vienetai
  2. BJi visada viršutinė trikampė
  3. CKiekvienoje eilutėje yra lygiai vienas 1
  4. DJi simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl duomenų bazės indeksams dažnai naudoja B+ medžius, o ne paprastus B medžius?

  1. AB+ medžių nereikia balansuoti
  2. BB+ medžiai duomenis saugo tik šaknyje
  3. CB+ medžiai naudoja dvejetainius vidinius mazgus, todėl sumažėja skaitymų iš disko
  4. DVisi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
21915612101316817ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 6; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 6
  1. 1briauna AC
  2. 2briauna BC
  3. 3briauna BD
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna EF
  7. 7briauna GB
  8. 8briauna GC
  9. 9briauna GD
  10. 10briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai kopijuojami tik pasiekus dvejeto laipsnius; paskirsčius šią kainą visiems pridėjimams, vidutinė vieno pridėjimo kaina yra pastovi.

Atsakymas

C · O(1)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.

Atsakymas

D · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Ji simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu

Kodėl tai yra atsakymas

Nekryptiniame grafe briauna {u, v} reiškia, kad nustatyti ir M[u][v], ir M[v][u], todėl matrica lygi savo transponuotajai.

Atsakymas

D · Ji simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Visi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi

Kodėl tai yra atsakymas

B+ medyje vidiniai mazgai tik nukreipia paiešką, o lapai susieti raktų tvarka, todėl intervalo užklausa randa pirmąjį raktą ir tada eina lapais.

Atsakymas

D · Visi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna GB

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. AC (2)
2. CE (6)
3. GD (8)
4. EF (10)
5. DE (12)
6. GB (13)

briaunos numeris 6

GB

Atsakymas

briauna GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms