Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo laiko sudėtingumas, naudojant lentelę „iš apačios į viršų“?

AO(log n)
BO(n²)
CO(2ⁿ)
DO(n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl vidutiniškai paieška maišos lentelėje yra O(1), o blogiausiu atveju – O(n)?

APrieiga prie masyvų yra O(n)
BRaktai pirmiausia turi būti surikiuoti
CDaug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį
DMaišos funkcijos yra lėtos

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia postfiksinio reiškinio 3 4 + 2 * reikšmė?

4.Duomenų struktūrosSunkus

Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:

AAtsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
BEilutėms rikiuoti abėcėlės tvarka, saugant kiekvieną prefiksą atskirame medžio mazge
CStekui įgyvendinti
DGrafo briaunoms saugoti

5.Grafų teorijaVidutinis

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 8

1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki G svertiniame grafe ilgį d(G).

pradžia: Apabaiga: G

d(G) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Užpildant lentelę nuo 0 iki n, kiekvienam įrašui reikia vienos sudėties, todėl darbas tiesinis, o ne eksponentinis.

Atsakymas

D · O(n)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Daug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį

Kodėl tai yra atsakymas

Esant geros maišos funkcijai ir tinkamam užpildymo koeficientui, krepšeliai vidutiniškai lieka trumpi; piktavališkai parinkti duomenys arba prasta maišos funkcija gali sudėti visus raktus į vieną krepšelį.

Atsakymas

C · Daug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 14

Kodėl tai yra atsakymas

Įdedami 3 ir 4, + duoda 7; įdedamas 2, * duoda 7 × 2 = 14.

Atsakymas

B · 14

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.

Atsakymas

A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

A, B, E, G → 4

nei viena

Atsakymas

nei viena

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(G) = 14

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 9, C: 9

B (9): G: 23

C (9): E: 16, G: 14

G (14): D: 16

D (16): F: 17

E (16)

F (17)

Trumpiausias kelias

A → C → G

d(G) = 14

Atsakymas

d(G) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms