Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Godusis algoritmas:

  1. ANaudoja tik rekursiją
  2. BIšbando kiekvieną galimą sprendinį
  3. CVisada pateikia optimalų sprendinį
  4. DKiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ar 22n priklauso O(2ⁿ)?

  1. ANe, nes 22n auga lėčiau už 2ⁿ
  2. BTaip, nes abu yra eksponentiniai
  3. CTaip, nes didžiajame O pastovūs laipsnio rodiklio daugikliai visada nepaisomi
  4. DNe, nes 22n = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia rakto paieškos subalansuotame dvejetainiame paieškos medyje laiko sudėtingumas?

  1. AO(1)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią tiesinio zondavimo problemą dvigubas maišymas (double hashing) daugiausia sumažina?

  1. APirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
  2. BPoreikį saugoti raktus lentelėje
  3. CRakto reikšmės skaitymo O(n) kainą
  4. DMaišos funkcijos poreikį
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 8 viršūnių ir 17 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 8|E| = 17
k =
6.Grafų teorijaSunkus
1110196202164ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės F. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Fk = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą

Kodėl tai yra atsakymas

Godieji algoritmai yra greiti ir kai kuriems uždaviniams optimalūs (pvz., Dijkstros algoritmas, Hafmano kodavimas), bet ne bendruoju atveju (pvz., grąžos atidavimo uždavinys su kai kuriomis monetų sistemomis).

Atsakymas

D · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Ne, nes 22n = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai

Kodėl tai yra atsakymas

Prie laipsnio rodiklio pridėta konstanta duoda pastovų daugiklį, bet konstanta, iš kurios dauginamas laipsnio rodiklis, pakeičia pagrindą ir augimo greitį.

Atsakymas

D · Ne, nes 22n = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuoto medžio aukštis yra apie log₂ n, todėl paieška eina vienu keliu nuo šaknies iki lapo.

Atsakymas

C · O(log n)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiesinis zondavimas žengia po 1, todėl užimtos sekos auga ir susilieja; dvigubas maišymas žingsnio dydžiui naudoja antrą maišos funkciją, todėl skirtingi raktai zonduoja skirtingas sekas.

Atsakymas

A · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

8 − 1 = 7

Pašalintinos briaunos

k = 17 − 7 = 10

Atsakymas

k = 10
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. DF (2)
2. EF (16)
3. BE (4)
4. CE (6)
5. AC (10)

briaunos numeris 3

BE

Atsakymas

briauna BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms