Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for j = 1 to i: atlikti O(1) darbą?

  1. AO(n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip klasifikuojamas keliaujančio pirklio uždavinys?

  1. ASprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki
  2. BJis priklauso P, nes jį išsprendžia Dijkstros algoritmas aplankydamas kiekvieną miestą vieną kartą
  3. CJis neišsprendžiamas
  4. DSprendimo versija priklauso P, bet optimizavimo versija yra NP-pilna
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Žiedinis buferis (ring buffer) dažniausiai naudojamas įgyvendinti:

  1. AFiksuoto dydžio eilę
  2. BMaišos funkciją
  3. CDvejetainį paieškos medį
  4. DGrafo apėjimą
4.Duomenų struktūrosSunkus

Žiediniame buferyje front == rear gali reikšti, kad jis tuščias arba pilnas. Koks dažnas būdas juos atskirti?

  1. ABuferio dydį padaryti dvejeto laipsniu
  2. BFront ir rear saugoti tame pačiame kintamajame
  3. CVisada išvalyti buferį, kai front lygus rear, kad būsena būtų tuščia
  4. DLaikyti atskirą elementų skaitiklį arba visada palikti vieną vietą nenaudojamą
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 22 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 22
k =
6.Grafų teorijaSunkus
151315111237153ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Vidinis kūnas iš viso vykdomas n(n + 1) / 2 kartų, o tai vis tiek kvadratinis dydis.

Atsakymas

D · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Sprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki

Kodėl tai yra atsakymas

„Ar yra maršrutas, kurio ilgis ne didesnis kaip k?“ yra NP-pilnas; trumpiausio maršruto radimas yra NP-sunkus, nes jis bent tiek pat sunkus.

Atsakymas

A · Sprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Fiksuoto dydžio eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Žiedinis buferis naudoja persisukančius head ir tail indeksus, todėl enqueue ir dequeue atliekami per O(1) fiksuotoje atmintyje.

Atsakymas

A · Fiksuoto dydžio eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Laikyti atskirą elementų skaitiklį arba visada palikti vieną vietą nenaudojamą

Kodėl tai yra atsakymas

Su skaitikliu tuščias reiškia count = 0, o pilnas – count = talpa; palikus vieną tuščią vietą, pilnas apibrėžiamas kaip (rear + 1) mod n == front.

Atsakymas

D · Laikyti atskirą elementų skaitiklį arba visada palikti vieną vietą nenaudojamą
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 22 − 12 = 10

Atsakymas

k = 10
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 28

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 15, C: 13
C (13): E: 25
B (15): D: 26, E: 18
E (18): D: 21, F: 33
D (21): F: 28
F (28)

Trumpiausias kelias

A → B → E → D → F
d(F) = 28

Atsakymas

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms