Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.
1Formulės ir metodai
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
2Uždaviniai
1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis
Koks yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo laiko sudėtingumas, naudojant lentelę „iš apačios į viršų“?
AO(n²)
BO(n)
CO(2ⁿ)
DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus
Taikant pagrindinę teoremą (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) sprendinys yra:
AΘ(n³)
BΘ(n log n)
CΘ(n²)
DΘ(n² log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis
Kelių tinklas turi 100,000 sankryžų, kurių kiekviena sujungta su maždaug 4 kitomis. Kuris vaizdavimas tinkamiausias?
AGretimumo sąrašas
BDvejetainė briaunų krūva
CVienas surikiuotas viršūnių masyvas
DGretimumo matrica
4.Duomenų struktūrosSunkus
Kuri duomenų struktūra leidžia LRU (least recently used) podėlį su O(1) get ir put operacijomis?
AMaišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
BVienas surikiuotas masyvas
CTik stekas
DTik dvejetainis paieškos medis
5.Grafų teorijaVidutinis
Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?
3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3; praleistos briaunos neskaičiuojamos.
k = 3
1briauna AB
2briauna AC
3briauna BC
4briauna BD
5briauna DE
6briauna DF
7briauna EF
8briauna BE
3Tirpalai
1.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: B · O(n)
Kodėl tai yra atsakymas
Užpildant lentelę nuo 0 iki n, kiekvienam įrašui reikia vienos sudėties, todėl darbas tiesinis, o ne eksponentinis.
Atsakymas
B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: A · Θ(n³)
Kodėl tai yra atsakymas
log₂ 8 = 3, o n² auga lėčiau nei n³, todėl dominuoja lapai: Θ(n³).
Atsakymas
A · Θ(n³)
3.Duomenų struktūros
Atsakymas: A · Gretimumo sąrašas
Kodėl tai yra atsakymas
Matricai reikėtų 1010 langelių, beveik visi tušti; gretimumo sąrašas saugo tik maždaug 400,000 briaunų įrašų.
Atsakymas
A · Gretimumo sąrašas
4.Duomenų struktūros
Atsakymas: A · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
Kodėl tai yra atsakymas
Maišos žemėlapis randa mazgus per O(1), o dvikryptis susietasis sąrašas perkelia naudotus elementus į priekį ir pašalina iš galo per O(1).
Atsakymas
A · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
5.Grafų teorija
Atsakymas: L = 22
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Rankų paspaudimo lema medžiui
L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22
Atsakymas
L = 22
Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.
6.Grafų teorija
Atsakymas: briauna BC
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.