Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra greitojo rikiavimo (quicksort) laiko sudėtingumas blogiausiu atveju?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl bet kuriai palyginimais pagrįstai paieškai surikiuotame masyve blogiausiu atveju reikia Ω(log n) palyginimų?

  1. ADvejetainė paieška yra vienintelis galimas algoritmas, ir jam reikia log₂ n palyginimų
  2. BSprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n
  3. CKiekvienas palyginimas trunka logaritminį laiką
  4. DKiekvieną elementą reikia palyginti bent kartą
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Prefiksų medis (trie) ypač efektyvus:

  1. AMatricų saugojimui
  2. BSkaičių rikiavimui
  3. CTrumpiausių kelių paieškai
  4. DPrefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri apėjimų pora visada vienareikšmiškai nusako dvejetainį medį su skirtingais raktais?

  1. APreorder ir postorder
  2. BVien apėjimas lygmenimis
  3. CPreorder ir inorder
  4. DVien preorder
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
86132139515ABCDEF

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 4 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Kai atraminiai elementai nuolat parenkami blogai (pvz., jau surikiuoti duomenys ir pirmasis elementas kaip atraminis), skaidiniai būna nesubalansuoti, todėl gaunama O(n²). Vidutiniu atveju laikas yra O(n log n).

Atsakymas

C · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Sprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas palyginimas likusių galimybių aibę sumažina daugiausia perpus, todėl norint atskirti n pozicijų reikia bent log₂ n palyginimų.

Atsakymas

B · Sprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui

Kodėl tai yra atsakymas

Trie saugo eilutes simboliais keliuose, todėl paieška ir prefiksų užklausos trunka laiką, proporcingą rakto ilgiui.

Atsakymas

D · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Preorder ir inorder

Kodėl tai yra atsakymas

Preorder nurodo šaknį, o jos padėtis inorder sekoje atskiria kairįjį ir dešinįjį pomedžius; preorder su postorder yra dviprasmiški, kai mazgas turi vieną vaiką.

Atsakymas

C · Preorder ir inorder
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

A, B, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: D

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 8, C: 6
2. C (6): E: 19
3. B (8): D: 10
4. D (10): F: 15
5. F (15)
6. E (19)

etapas 4

D

Atsakymas

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms