Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Turint 1, 3 ir 4 vertės monetas ir 6 sumą, kiek monetų panaudoja godusis metodas „pirmiausia didžiausia moneta“, palyginti su optimaliu sprendiniu?

  1. AGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
  2. BGodusis panaudoja 2 monetas; optimalus sprendinys – 2
  3. CGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 3
  4. DGodusis panaudoja 4 monetas; optimalus sprendinys – 3
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?

  1. AJis suskaičiuoja ciklus paieška gilyn
  2. BPo V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
  3. CJis patikrina, ar kuri nors briauna turi neigiamą svorį
  4. DJis du kartus paleidžia Dijkstros algoritmą ir palygina abu atstumų rezultatus
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą vykdoma programa naudoja aktyviems funkcijų kvietimams ir jų lokaliesiems kintamiesiems sekti?

  1. ADinaminės atminties (heap) eilę
  2. BFunkcijų maišos lentelę
  3. CKvietimų steką
  4. DRėmelių dvejetainį paieškos medį
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiek laiko užtrunka bet kurio rakto paieška n elementų dvejetainėje min krūvoje?

  1. AO(log log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
10156142963ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis metodas paima 4 + 1 + 1 = 3 monetas, bet 3 + 3 panaudoja tik 2, todėl šiai monetų sistemai godusis metodas nėra optimalus; dinaminis programavimas – optimalus.

Atsakymas

A · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.

Atsakymas

B · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Kvietimų steką

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas kvietimas įdeda steko rėmelį, o kiekvienas grįžimas jį išima, todėl naujausias kvietimas baigiasi pirmas.

Atsakymas

C · Kvietimų steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Krūva nenustato taisyklės, kuriame pomedyje yra raktas, todėl blogiausiu atveju reikia patikrinti visus mazgus; greitai randamas tik minimumas.

Atsakymas

B · O(n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 15

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 33 = 2(L + 10) − 2
L = 15

Atsakymas

L = 15

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 30

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 10
C (10): B: 25, E: 24
E (24): D: 26, F: 30
B (25)
D (26)
F (30)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F
d(F) = 30

Atsakymas

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms