Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kaip Primo algoritmas sudaro minimalų jungiamąjį medį?

  1. AJis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
  2. BJis surikiuoja visas briaunas pagal svorį ir prideda kiekvieną, jei ji miške nesudaro ciklo
  3. CJis šalina brangiausią briauną, kol nebelieka ciklų
  4. DJis vykdo paiešką platyn ir pasilieka BFS medį
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris algoritmas randa minimalų jungiamąjį medį, pakartotinai pridėdamas pigiausią briauną, kuri nesudaro ciklo?

  1. ADijkstros algoritmas
  2. BFloido–Voršalo algoritmas
  3. CKruskalo algoritmas
  4. DPrimo algoritmas, pradedant nuo vienos viršūnės
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip dvejetainėje min krūvoje veikia extract-min?

  1. APaskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
  2. BPašalinama šaknis, o visi elementai pastumiami viena vieta į kairę
  3. CPašalinamas paskutinis masyvo elementas
  4. DNaujo minimumo ieškoma visuose lapuose
4.Duomenų struktūrosSunkus

Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?

  1. APerstato visą medį į subalansuotą formą
  2. BPerkelia pasiektą mazgą į lapą
  3. CPosūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
  4. DPerspalvina paieškos kelio mazgus
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
18694826ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną

Kodėl tai yra atsakymas

Primo algoritmas su kertančių briaunų prioritetine eile, naudojant dvejetainę krūvą, veikia per O(E log V).

Atsakymas

A · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Kruskalo algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Kruskalo algoritmas surikiuoja briaunas pagal svorį ir prideda jas, jei jos jungia skirtingas komponentes; Primo algoritmas augina vieną medį nuo pradinės viršūnės.

Atsakymas

C · Kruskalo algoritmas
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)

Kodėl tai yra atsakymas

Paskutinis elementas užpildo tuščią vietą šaknyje ir keičiamas vietomis su mažesniuoju vaiku, kol galioja krūvos savybė; tai užtrunka O(log n).

Atsakymas

A · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį

Kodėl tai yra atsakymas

Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).

Atsakymas

C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 12

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 1, C: 8
B (1): C: 7, D: 10
C (7): E: 11
D (10): F: 12
E (11)
F (12)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 12

Atsakymas

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms