Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką matuoja amortizuotoji analizė?

  1. ATikėtiną kainą su atsitiktinėmis įvestimis
  2. BVidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje
  3. CAlgoritmo kainą su geriausia įvestimi
  4. DVienos brangiausios operacijos bet kurioje sekos vietoje kainą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris metodas užtikrina tikėtiną O(n log n) greitojo rikiavimo vykdymo laiką bet kokiems įvesties duomenims?

  1. AAtraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį
  2. BVisada pirmojo elemento parinkimas
  3. CRekursijos taikymas tik kairiajai pusei
  4. DĮvesties duomenų surikiavimas prieš paleidžiant greitąjį rikiavimą
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia kaina įterpti elementą į n elementų masyvo vidurį?

  1. AO(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
  2. BO(n²), nes kiekvienas elementas pajuda n kartų
  3. CO(1), nes indeksas žinomas
  4. DO(log n), dėl dvejetainės paieškos
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl serveris galėtų savo maišos funkciją atsitiktinai parinkti iš universaliosios šeimos?

  1. AKad nebereikėtų keisti lentelės dydžio
  2. BKad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria
  3. CKad maišos lentelė būtų surikiuota
  4. DKad garantuotų, jog jokie du raktai niekada nesusidurs, kokius raktus beišsiųstų užpuolikas
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
91515122131011ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Vidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje

Kodėl tai yra atsakymas

Amortizuotoji analizė retų brangių operacijų kainą paskirsto daugybei pigių ir duoda garantuotą vidurkį bet kuriai sekai.

Atsakymas

B · Vidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Atraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį

Kodėl tai yra atsakymas

Parenkant atsitiktinį atraminį elementą, tikėtinas vykdymo laikas yra O(n log n) bet kokiems įvesties duomenims; blogi atvejai vis dar egzistuoja, bet yra labai mažai tikėtini.

Atsakymas

A · Atraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai po įterpimo vietos pasislenka viena pozicija į dešinę, o tai užtrunka n proporcingą laiką.

Atsakymas

A · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant universalųjį maišymą, tikėtinas kolizijų skaičius bet kuriai raktų aibei mažas, nes užpuolikas nežino, kuri funkcija parinkta.

Atsakymas

B · Kad būtų labai mažai tikėtina, jog užpuolikas parinks daug raktų, kurie visi susiduria
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

B, D, E, G → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 31

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 9, C: 15
B (9): D: 21, E: 20
C (15): E: 17
E (17)
D (21): F: 31
F (31)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 31

Atsakymas

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms