Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Karacubos daugyba tenkina T(n) = 3T(n/2) + O(n). Kam lygus sprendinys?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(nlog₂ 3), apie n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio paieškos medžio mazgas turi dešinįjį pomedį. Kur yra jo in-order įpėdinis?

  1. AKairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
  2. BVisada jo tėvas
  3. CDešiniausias jo kairiojo pomedžio mazgas
  4. DVisada jo dešinysis vaikas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Bloomo filtras į klausimą „ar šis elementas yra aibėje?“ gali atsakyti:

  1. ATik skaičiams
  2. BSu galimais klaidingai neigiamais, bet be klaidingai teigiamų atsakymų
  3. CSu galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
  4. DVisada tiksliai
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
61051182419316ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 6; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 6
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BD
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DF
  6. 6briauna EF
  7. 7briauna GB
  8. 8briauna GC
  9. 9briauna GD
  10. 10briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) nlog₂ 2 = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.

Atsakymas

D · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, pagal pagrindinę teoremą dominuoja lapai, todėl metodas aplenkia mokyklinį O(n²) metodą.

Atsakymas

B · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas

Kodėl tai yra atsakymas

Visi didesni, mazgui artimi raktai yra jo dešiniajame pomedyje, o mažiausias iš jų yra ten esantis kairiausias mazgas.

Atsakymas

A · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

Kodėl tai yra atsakymas

Jei bet kuris elemento bitas lygus 0, elemento tikrai nėra; jei visi lygūs 1, jis tikriausiai yra. Bloomo filtrai iškeičia tikslumą į labai mažą atminties sąnaudą.

Atsakymas

C · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

Nelyginės viršūnės

B, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna AC

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. CE (1)
2. EF (2)
3. GD (3)
4. GB (4)
5. AB (6)
6. AC (10)

briaunos numeris 6

AC

Atsakymas

briauna AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms