Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n/2) + O(1) sprendinys?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Paėmus abu kiekvienos maksimalaus poravimo (maximal matching) briaunos galus, gaunamas viršūnių denginys. Koks geras šis denginys?

  1. ANežinomos kokybės, palyginti su optimaliu
  2. BDaugiausia log n kartų didesnis už minimalų
  3. CVisada minimalus viršūnių denginys
  4. DDaugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja grafo su V viršūnių gretimumo matrica?

  1. AO(log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl iš standartinio Bloomo filtro elementų negalima tiesiog pašalinti išvalant jų bitus?

  1. ABloomo filtrai saugo visus elementus, o suhešavus jų vėl neįmanoma rasti
  2. BTie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
  3. CŠalinimas padidintų klaidingai teigiamų atsakymų dažnį iki 100%
  4. DBloomo filtro bitų negalima keisti po sukūrimo
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
10592108613151ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename žingsnyje uždavinys sumažėja perpus, o darbas viename žingsnyje pastovus, todėl žingsnių yra apie log₂ n.

Atsakymas

C · O(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį

Kodėl tai yra atsakymas

Poravimo briaunos neturi bendrų viršūnių, todėl optimaliam sprendiniui reikia bent vienos viršūnės kiekvienai briaunai, o šis metodas paima dvi: tai 2-aproksimacija.

Atsakymas

D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Gretimumo matrica saugo V × V įrašų, tai efektyvu tankiems grafams; gretimumo sąrašai naudoja O(V + E) ir geriau tinka retiems grafams.

Atsakymas

B · O(V²)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai

Kodėl tai yra atsakymas

Išvalius bendrą bitą, kitas elementas atrodytų nesantis; skaičiuojantieji Bloomo filtrai vietoj bitų laiko skaitiklius, kad būtų galima šalinti.

Atsakymas

B · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Nelyginės viršūnės

D, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 25

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 10
B (10): C: 15, D: 19, G: 16
C (15)
G (16): E: 17
E (17): F: 25
D (19)
F (25)

Trumpiausias kelias

A → B → G → E → F
d(F) = 25

Atsakymas

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms