Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?

AO(log n)
BO(n)
CO(n log n)
DO(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra dvejetainės krūvos sudarymo iš n nesurikiuotų elementų metodu „iš apačios į viršų“ (bottom-up) laiko sudėtingumas?

AO(log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(n log n)

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip žiedinėje eilėje, saugomoje n talpos masyve, apskaičiuojama kita pozicija po indekso i?

A(i + 1) mod n
B2i + 1
Ci + 1
D(i − 1) mod n

4.Duomenų struktūrosSunkus

Mazgas su dviem vaikais iš dvejetainio paieškos medžio paprastai šalinamas:

APašalinant visą pomedį
BSukeičiant jį su šaknimi
CPerstatant po juo esantį pomedį iš naujo ir iš naujo įterpiant kiekvieną jame buvusį raktą
DPakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₇? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₇

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) n^{log₂ 2} = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.

Atsakymas

B · O(n)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus nuslinkimo žemyn (sift-down) kainas per visus lygius gaunama konverguojanti eilutė, todėl krūvos sudarymas (heapify) vyksta per tiesinį laiką.

Atsakymas

C · O(n)

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · (i + 1) mod n

Kodėl tai yra atsakymas

Modulio operacija indeksą n − 1 grąžina į 0, todėl masyvas naudojamas pakartotinai, nepastumiant elementų.

Atsakymas

A · (i + 1) mod n

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą

Kodėl tai yra atsakymas

In-order įpėdinis turi ne daugiau kaip vieną vaiką, todėl jį lengva pašalinti, nukopijavus jo raktą į šalinamą mazgą.

Atsakymas

D · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 19

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 5, C: 10

B (5): D: 13, G: 12

C (10): E: 18

G (12)

D (13): F: 19

E (18)

F (19)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F

d(F) = 19

Atsakymas

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms