Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris algoritmas randa trumpiausius kelius iš vienos pradinės viršūnės grafe, kurio briaunų svoriai neneigiami?

  1. AKruskalo algoritmas
  2. BDijkstros algoritmas
  3. CPaieška gilyn (DFS)
  4. DVisais atvejais būtinas Belmano–Fordo algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris iš šių įvykdomumo uždavinių, kaip žinoma, išsprendžiamas per polinominį laiką?

  1. ALoginės schemos įvykdomumas
  2. B3-SAT, kai kiekviename disjunkte yra lygiai trys literalai
  3. CBendrasis SAT konjunkcinės normaliosios formos formulėms
  4. D2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Koks yra blogiausio atvejo dvejetainio paieškos medžio su n mazgų aukštis, jei raktai įterpiami surikiuota tvarka?

  1. A√n
  2. Bn (medis tampa susietuoju sąrašu)
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurias operacijas Fenwicko medis (binary indexed tree) n skaičių masyvui palaiko per O(log n)?

  1. AMasyvo rikiavimą ir dvejetainę paiešką
  2. BPrefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
  3. CMedianos radimą per O(1)
  4. DElementų įterpimą bet kurioje pozicijoje
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
123141091874ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Dijkstros algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Dijkstros algoritmas veikia su neneigiamais svoriais; Belmano–Fordo algoritmas tinka ir neigiamiems svoriams; Kruskalo algoritmas sudaro minimalius jungiamuosius medžius.

Atsakymas

B · Dijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

Kodėl tai yra atsakymas

2-SAT priklauso P (tiesinis laikas per stipriai jungias komponentes), o 3-SAT yra NP-pilnas.

Atsakymas

D · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · n (medis tampa susietuoju sąrašu)

Kodėl tai yra atsakymas

Įterpiant surikiuotus raktus susidaro išsigimęs n aukščio medis, todėl paieška tampa O(n). Subalansuoti medžiai to išvengia.

Atsakymas

B · n (medis tampa susietuoju sąrašu)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus

Kodėl tai yra atsakymas

Fenwicko medis saugo dalines sumas intervaluose, kuriuos nusako kiekvieno indekso žemesnieji bitai, todėl ir prefiksų sumos, ir taškiniai atnaujinimai užtrunka O(log n).

Atsakymas

B · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Nelyginės viršūnės

D, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 35

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BC (3): imti
BE (4): imti
EF (7): imti
DE (9): imti
CE (10): praleisti, uždaro ciklą
AB (12): imti

Bendras svoris

W = 3 + 4 + 7 + 9 + 12 = 35

Atsakymas

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms