Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra standartinio dinaminio programavimo algoritmo, ieškančio m ir n ilgio eilučių ilgiausio bendro posekio, laiko sudėtingumas?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris NP klasės apibrėžimas teisingas?

  1. AUždaviniai, kurių negalima išspręsti per polinominį laiką
  2. BUždaviniai, kurių neišsprendžia joks algoritmas
  3. CSprendimo uždaviniai, kurių teigiamus atsakymus, turint sertifikatą, galima patikrinti per polinominį laiką
  4. DUždaviniai, kurie nėra polinominiai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurį abstraktųjį duomenų tipą Dijkstros algoritmas naudoja kitai apdorojamai viršūnei parinkti?

  1. AFIFO eilę
  2. BMin prioritetinę eilę
  3. CSteką
  4. DNesutvarkytą aibę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Mazgas su dviem vaikais iš dvejetainio paieškos medžio paprastai šalinamas:

  1. ASukeičiant jį su šaknimi
  2. BPakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą
  3. CPašalinant visą pomedį
  4. DPerstatant po juo esantį pomedį iš naujo ir iš naujo įterpiant kiekvieną jame buvusį raktą
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
1182133153156ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki D svertiniame grafe ilgį d(D).

pradžia: Apabaiga: D
d(D) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(mn)

Kodėl tai yra atsakymas

Lentelėje yra (m + 1)(n + 1) langelių, ir kiekvienas apskaičiuojamas per O(1) iš kaimynų.

Atsakymas

B · O(mn)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Sprendimo uždaviniai, kurių teigiamus atsakymus, turint sertifikatą, galima patikrinti per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

NP uždaviniui pasiūlytą sprendinį (sertifikatą) galima greitai patikrinti, pvz., patikrinti, ar duotas priskyrimas tenkina loginę formulę.

Atsakymas

C · Sprendimo uždaviniai, kurių teigiamus atsakymus, turint sertifikatą, galima patikrinti per polinominį laiką
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Min prioritetinę eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Min prioritetinė eilė, paprastai dvejetainė krūva, efektyviai grąžina neaplankytą viršūnę su mažiausiu atstumu.

Atsakymas

B · Min prioritetinę eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą

Kodėl tai yra atsakymas

In-order įpėdinis turi ne daugiau kaip vieną vaiką, todėl jį lengva pašalinti, nukopijavus jo raktą į šalinamą mazgą.

Atsakymas

B · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(D) = 11

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 11, C: 8
C (8): B: 10, G: 23
B (10): D: 11, G: 13
D (11): E: 14, F: 14
G (13)
E (14)
F (14)

Trumpiausias kelias

A → C → B → D
d(D) = 11

Atsakymas

d(D) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms