Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Vieną kartą surikiuojate n elementų masyvą, o tada dvejetaine paieška atsakote į k priklausomybės užklausų. Kokia bendra kaina?

  1. AO(nk)
  2. BO(n log n + k log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Taikant pagrindinę teoremą (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) sprendinys yra:

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl dvejetainę krūvą galima saugoti masyve be jokių rodyklių?

  1. AMasyvai automatiškai laiko raktus surikiuotus, todėl rodyklių nereikia
  2. BTai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
  3. CKrūvose niekada nebūna daugiau kaip 100 elementų
  4. DVisi krūvos raktai lygūs
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kam Kruskalo minimalaus jungiamojo medžio algoritme naudojama union-find struktūra?

  1. APaieškos metu saugoti dabartinį kiekvienos viršūnės atstumą nuo šaltinio
  2. BParinkti pradinę viršūnę
  3. CPatikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
  4. DSurikiuoti briaunas pagal svorį
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
820131817102ABCDE

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n log n + k log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas kainuoja O(n log n), o kiekviena užklausa – O(log n); kai k didelis, tai geriau nei k tiesinių peržiūrų (O(nk)).

Atsakymas

B · O(n log n + k log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Θ(n³)

Kodėl tai yra atsakymas

log₂ 8 = 3, o n² auga lėčiau nei n³, todėl dominuoja lapai: Θ(n³).

Atsakymas

D · Θ(n³)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės

Kodėl tai yra atsakymas

Pilnumas reiškia, kad nėra tarpų, todėl indekso i vaikai visada yra 2i + 1 ir 2i + 2.

Atsakymas

B · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti

Kodėl tai yra atsakymas

Find parodo, ar abu galai yra toje pačioje komponentėje; jei ne, briauna pridedama, o union sujungia komponentes.

Atsakymas

C · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Nelyginės viršūnės

A, B, C, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BC

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. BE (2)
2. AB (8)
3. DE (10)
4. BC (13)

briaunos numeris 4

BC

Atsakymas

briauna BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms