Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Surikiuotame masyve ieškote dviejų elementų, kurių suma lygi tikslinei, judindami po vieną rodyklę nuo kiekvieno galo į vidų. Koks laiko sudėtingumas?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Sustojimo problema parodo, kad:

  1. ACiklų reikėtų vengti
  2. BKai kurios programos greitesniuose kompiuteriuose veikia greičiau, todėl sustojimas priklauso nuo aparatinės įrangos
  3. CJoks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
  4. DKiekviena programa anksčiau ar vėliau sustoja
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas nutinka, kai maišos lentelė, jos užpildymo koeficientui viršijus slenkstį, atlieka pakartotinį maišymą (rehash)?

  1. AEsami raktai surikiuojami vietoje
  2. BĮ naują perpildos sąrašą lentelės gale perkeliami tik susidūrę raktai
  3. CSeniausi raktai pašalinami vietai atlaisvinti
  4. DIšskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuo radix medis (suspaustas Trie) pranašesnis už paprastą Trie?

  1. AJis kiekvieno mazgo vaikus surikiuoja pagal dažnį
  2. BJis kiekvieną žodį saugo šaknyje esančioje maišos lentelėje, o ne atskiruose mazguose
  3. CJis vieno vaiko mazgų grandines sujungia į vieną eilute pažymėtą briauną
  4. DJis išlaiko tik pirmąją kiekvieno žodžio raidę
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
15121371435ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Jei suma per maža, kairioji rodyklė juda į dešinę, jei per didelė – dešinioji juda į kairę, todėl žingsnių yra daugiausia n.

Atsakymas

C · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiuringas parodė, kad sustojimo problema yra neišsprendžiama: prielaida, kad egzistuoja ją sprendžiantis algoritmas, veda į prieštarą su programa, kuri elgiasi priešingai.

Atsakymas

C · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi indeksas skaičiuojamas moduliu pagal lentelės dydį, visus raktus reikia iš naujo sumaišyti į naują, didesnę lentelę; dvigubinant tai lieka O(1) amortizuotai.

Atsakymas

D · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Jis vieno vaiko mazgų grandines sujungia į vieną eilute pažymėtą briauną

Kodėl tai yra atsakymas

Sutraukus nesišakojančius kelius, sumažėja mazgų skaičius ir naudojama atmintis, o paieška pagal prefiksą išlieka.

Atsakymas

C · Jis vieno vaiko mazgų grandines sujungia į vieną eilute pažymėtą briauną
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

A, C → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 21

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 15, C: 12
C (12): B: 13, E: 19
B (13): D: 16, E: 18
D (16): F: 30
E (18): F: 21
F (21)

Trumpiausias kelias

A → C → B → E → F
d(F) = 21

Atsakymas

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms