Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl daug bibliotekinių rikiavimo procedūrų labai mažiems daliniams masyvams pereina prie rikiavimo įterpimu?

  1. ARikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis
  2. BRikiavimas įterpimu didelėms įvestims naudoja mažiau atminties nei bet kuris kitas rikiavimo algoritmas
  3. CRikiavimas įterpimu blogiausiu atveju yra O(n log n)
  4. DRekursiniai algoritmai negali apdoroti mažesnių nei 10 elementų masyvų
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl bet kuriai palyginimais pagrįstai paieškai surikiuotame masyve blogiausiu atveju reikia Ω(log n) palyginimų?

  1. AKiekvieną elementą reikia palyginti bent kartą
  2. BDvejetainė paieška yra vienintelis galimas algoritmas, ir jam reikia log₂ n palyginimų
  3. CKiekvienas palyginimas trunka logaritminį laiką
  4. DSprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka patikrinti, ar briauna (u, v) egzistuoja, naudojant gretimumo matricą?

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokia blogiausio atvejo vienos find operacijos kaina union-find struktūroje su n elementų, nenaudojant jungimo pagal rangą ir kelio suspaudimo?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(α(n))
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 15 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 15
k =
6.Grafų teorijaSunkus
1211315212141ABCDEF

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 3 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis

Kodėl tai yra atsakymas

Mažiems n paprastas rikiavimo įterpimu ciklas aplenkia greitojo rikiavimo ar rikiavimo suliejimu rekursijos pridėtines sąnaudas, nors jis ir O(n²).

Atsakymas

A · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Sprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas palyginimas likusių galimybių aibę sumažina daugiausia perpus, todėl norint atskirti n pozicijų reikia bent log₂ n palyginimų.

Atsakymas

D · Sprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Matricos įrašas u eilutėje ir v stulpelyje iš karto parodo, ar briauna egzistuoja; gretimumo sąraše gali tekti peržiūrėti u kaimynus.

Atsakymas

D · O(1)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Naivūs sujungimai gali sudėti medžius į ilgą grandinę, todėl find gali tekti pereiti n − 1 tėvo rodyklių; abi euristikos tai priartina prie konstantos.

Atsakymas

A · O(n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 15 − 12 = 3

Atsakymas

k = 3
6.Grafų teorija

Atsakymas: E

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 12, C: 1
2. C (1): E: 3
3. E (3): D: 15, B: 4
4. B (4)
5. D (15): F: 29
6. F (29)

etapas 3

E

Atsakymas

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms