Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n/2) + O(1) sprendinys?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kas išplauktų, jei kas nors rastų polinominio laiko algoritmą vienam NP-pilnam uždaviniui?

  1. AKiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP
  2. BVisi eksponentinio laiko algoritmai nedelsiant imtų veikti tiesiniu laiku
  3. CTik tas vienas uždavinys pereitų į P
  4. DStabdymo problema taptų išsprendžiama
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek mazgų turi tobulas dvejetainis medis, kurio aukštis h (aukštis skaičiuojamas briaunomis)?

  1. A2h
  2. B2h + 1
  3. C2h+1 − 1
  4. Dh2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiek laiko užtrunka bet kurio rakto paieška n elementų dvejetainėje min krūvoje?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename žingsnyje uždavinys sumažėja perpus, o darbas viename žingsnyje pastovus, todėl žingsnių yra apie log₂ n.

Atsakymas

A · O(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi visa NP klasė per polinominį laiką redukuojama į bet kurį NP-pilną uždavinį, greitas algoritmas vienam duoda greitą algoritmą visiems.

Atsakymas

A · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · 2h+1 − 1

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus 1 + 2 + 4 + ... + 2h gaunama 2h+1 − 1; pavyzdžiui, kai aukštis 2, yra 7 mazgai.

Atsakymas

C · 2h+1 − 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Krūva nenustato taisyklės, kuriame pomedyje yra raktas, todėl blogiausiu atveju reikia patikrinti visus mazgus; greitai randamas tik minimumas.

Atsakymas

C · O(n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Atsakymas

L = 10

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 4

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Bendri kaimynai

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Atsakymas

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms