Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Naivaus rekursyvaus Fibonačio skaičių skaičiavimo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) laiko sudėtingumas yra:

APastovus
BLogaritminis
CTiesinis
DEksponentinis

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ar 2²ⁿ priklauso O(2ⁿ)?

ATaip, nes didžiajame O pastovūs laipsnio rodiklio daugikliai visada nepaisomi
BNe, nes 2²ⁿ auga lėčiau už 2ⁿ
CNe, nes 2²ⁿ = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai
DTaip, nes abu yra eksponentiniai

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kur yra mazgo su indeksu i tėvas dvejetainėje krūvoje, saugomoje masyve nuo indekso 0?

AIndeksu ⌊i / 2⌋ + 1
BIndeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
CIndeksu 2i + 1
DIndeksu i − 1

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokia blogiausio atvejo vienos find operacijos kaina union-find struktūroje su n elementų, nenaudojant jungimo pagal rangą ir kelio suspaudimo?

AO(α(n))
BO(1)
CO(log n)
DO(n)

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₅? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₅

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki G svertiniame grafe ilgį d(G).

pradžia: Apabaiga: G

d(G) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Eksponentinis

Kodėl tai yra atsakymas

Iškvietimų medis auga maždaug kaip φⁿ (apie 1,618ⁿ). Memoizacija sumažina sudėtingumą iki O(n).

Atsakymas

D · Eksponentinis

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Ne, nes 2²ⁿ = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai

Kodėl tai yra atsakymas

Prie laipsnio rodiklio pridėta konstanta duoda pastovų daugiklį, bet konstanta, iš kurios dauginamas laipsnio rodiklis, pakeičia pagrindą ir augimo greitį.

Atsakymas

C · Ne, nes 2²ⁿ = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋

Kodėl tai yra atsakymas

Mazgo i vaikai yra 2i + 1 ir 2i + 2, todėl i tėvas yra ⌊(i − 1) / 2⌋; indeksuojant nuo 1 tai ⌊i / 2⌋.

Atsakymas

B · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Naivūs sujungimai gali sudėti medžius į ilgą grandinę, todėl find gali tekti pereiti n − 1 tėvo rodyklių; abi euristikos tai priartina prie konstantos.

Atsakymas

D · O(n)

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Atsakymas

H = 12

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(G) = 12

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 6

B (6): G: 12

G (12): C: 25, D: 23, E: 24

D (23): F: 27

E (24)

C (25)

F (27)

Trumpiausias kelias

A → B → G

d(G) = 12

Atsakymas

d(G) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms