Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Paieška platyn nesvoriniame grafe randa:

  1. ATrumpiausius kelius grafuose, turinčiuose neigiamų briaunų svorių
  2. BTopologinę tvarką bet kuriame grafe
  3. CTrumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
  4. DMinimalų jungiamąjį medį
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl Dijkstros algoritmas gali duoti neteisingus rezultatus, kai kai kurie briaunų svoriai neigiami?

  1. AJis veikia tik su nekryptiniais grafais
  2. BTies kiekviena neigiama briauna jis patenka į begalinį ciklą
  3. CViršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
  4. DNeigiamų skaičių negalima saugoti prioritetinėje eilėje
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Koks yra blogiausio atvejo dvejetainio paieškos medžio su n mazgų aukštis, jei raktai įterpiami surikiuota tvarka?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (medis tampa susietuoju sąrašu)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:

  1. AAtsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
  2. BGrafo briaunoms saugoti
  3. CStekui įgyvendinti
  4. DEilutėms rikiuoti abėcėlės tvarka, saugant kiekvieną prefiksą atskirame medžio mazge
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
4173971218ABCDE

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės

Kodėl tai yra atsakymas

BFS aplanko viršūnes pagal atstumą (briaunomis) nuo pradinės viršūnės, todėl per O(V + E) randa trumpiausius kelius nesvoriniame grafe.

Atsakymas

C · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis žingsnis remiasi neneigiamais svoriais, kad išimti atstumai būtų galutiniai; kai svoriai gali būti neigiami, naudojamas Bellmano–Fordo algoritmas.

Atsakymas

C · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · n (medis tampa susietuoju sąrašu)

Kodėl tai yra atsakymas

Įterpiant surikiuotus raktus susidaro išsigimęs n aukščio medis, todėl paieška tampa O(n). Subalansuoti medžiai to išvengia.

Atsakymas

D · n (medis tampa susietuoju sąrašu)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.

Atsakymas

A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 24

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24

Atsakymas

L = 24

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. BC (3)
2. AB (4)
3. CE (7)
4. BD (9)

briaunos numeris 4

BD

Atsakymas

briauna BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms