Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ar teisinga sakyti, kad O(n²) algoritmas yra ir O(n³)?

  1. ATaip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
  2. BTaip, bet tik jei n mažesnis už 100
  3. CNe, nes didysis O visada turi nurodyti tikslų funkcijos augimo greitį
  4. DNe, nes dideliems n n³ mažesnis už n²
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris algoritmas randa minimalų jungiamąjį medį, pakartotinai pridėdamas pigiausią briauną, kuri nesudaro ciklo?

  1. APrimo algoritmas, pradedant nuo vienos viršūnės
  2. BDijkstros algoritmas
  3. CKruskalo algoritmas
  4. DFloido–Voršalo algoritmas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Turite nuorodą į mazgą sąrašo viduryje. Kuriame sąraše jį galite pašalinti per O(1)?

  1. ADinaminiame masyve
  2. BDvikrypčiame susietajame sąraše
  3. CSurikiuotame masyve
  4. DVienkrypčiame susietajame sąraše
4.Duomenų struktūrosSunkus

Mazgas su dviem vaikais iš dvejetainio paieškos medžio paprastai šalinamas:

  1. APakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą
  2. BPašalinant visą pomedį
  3. CPerstatant po juo esantį pomedį iš naujo ir iš naujo įterpiant kiekvieną jame buvusį raktą
  4. DSukeičiant jį su šaknimi
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 34 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³

Kodėl tai yra atsakymas

Didysis O yra viršutinis rėžis, todėl teiginys teisingas, bet ne glaudus; Θ(n²) nurodo tikslų augimo greitį.

Atsakymas

A · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Kruskalo algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Kruskalo algoritmas surikiuoja briaunas pagal svorį ir prideda jas, jei jos jungia skirtingas komponentes; Primo algoritmas augina vieną medį nuo pradinės viršūnės.

Atsakymas

C · Kruskalo algoritmas
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Dvikrypčiame susietajame sąraše

Kodėl tai yra atsakymas

Dvikrypčio sąrašo mazgas žino savo pirmtaką, todėl galite tiesiogiai sujungti prev ir next; vienkrypčiame sąraše pirmtako reikia ieškoti.

Atsakymas

B · Dvikrypčiame susietajame sąraše
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą

Kodėl tai yra atsakymas

In-order įpėdinis turi ne daugiau kaip vieną vaiką, todėl jį lengva pašalinti, nukopijavus jo raktą į šalinamą mazgą.

Atsakymas

A · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 18

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 32 = 2(L + 8) − 2
L = 18

Atsakymas

L = 18

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 2

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)CC = 0·1 + 1·1 + 3·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Atsakymas

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms