Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl daug bibliotekinių rikiavimo procedūrų labai mažiems daliniams masyvams pereina prie rikiavimo įterpimu?

ARekursiniai algoritmai negali apdoroti mažesnių nei 10 elementų masyvų
BRikiavimas įterpimu didelėms įvestims naudoja mažiau atminties nei bet kuris kitas rikiavimo algoritmas
CRikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis
DRikiavimas įterpimu blogiausiu atveju yra O(n log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

APer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
BParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
CPer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
DParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip naujas elementas įterpiamas į dvejetainę krūvą?

AVisa krūva perstatoma iš naujo
BPadedamas šaknyje ir leidžiamas žemyn
CPadedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
DĮterpiamas į surikiuotą poziciją, pastumiant visus didesnius elementus viena vieta į dešinę

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokios yra vienkrypčio susietojo sąrašo apvertimo vietoje laiko ir papildomos atminties sąnaudos?

AO(n) laiko ir O(n) papildomos atminties
BO(n log n) laiko ir O(1) papildomos atminties
CO(n) laiko ir O(1) papildomos atminties
DO(1) laiko ir O(1) papildomos atminties

5.Grafų teorijaVidutinis

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7

1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena

6.Grafų teorijaSunkus

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2

N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis

Kodėl tai yra atsakymas

Mažiems n paprastas rikiavimo įterpimu ciklas aplenkia greitojo rikiavimo ar rikiavimo suliejimu rekursijos pridėtines sąnaudas, nors jis ir O(n²).

Atsakymas

C · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

Kodėl tai yra atsakymas

Pridėjimas gale išlaiko medį pilną; keitimasis vietomis su tėvu atkuria tvarką per O(log n) žingsnių.

Atsakymas

C · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties

Kodėl tai yra atsakymas

Laikant tris rodykles (ankstesnę, einamąją, kitą), kiekvieną ryšį galima apversti vienu perėjimu, neišskiriant naujų mazgų.

Atsakymas

C · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties

5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

A, C, D, E → 4

nei viena

Atsakymas

nei viena

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 2

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. K_n turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 0 1 0 0

C: 1 0 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 0 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)_CC = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

Atsakymas

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms