Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kaip Primo algoritmas sudaro minimalų jungiamąjį medį?

  1. AJis surikiuoja visas briaunas pagal svorį ir prideda kiekvieną, jei ji miške nesudaro ciklo
  2. BJis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
  3. CJis šalina brangiausią briauną, kol nebelieka ciklų
  4. DJis vykdo paiešką platyn ir pasilieka BFS medį
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris rėžis teisingas log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą naudoja paieška į gylį (DFS, iteracinė versija)?

  1. AEilę
  2. BTik maišos lentelę
  3. CSteką
  4. DKrūvą
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurias operacijas Fenwicko medis (binary indexed tree) n skaičių masyvui palaiko per O(log n)?

  1. AMedianos radimą per O(1)
  2. BPrefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
  3. CMasyvo rikiavimą ir dvejetainę paiešką
  4. DElementų įterpimą bet kurioje pozicijoje
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 18 viršūnių ir 24 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 18|E| = 24
k =
6.Grafų teorijaSunkus
7131111251610ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną

Kodėl tai yra atsakymas

Primo algoritmas su kertančių briaunų prioritetine eile, naudojant dvejetainę krūvą, veikia per O(E log V).

Atsakymas

B · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Θ(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).

Atsakymas

D · Θ(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Steką

Kodėl tai yra atsakymas

DFS eina kuo giliau, natūraliai naudodama steką (arba rekursijos iškvietimų steką); BFS naudoja eilę.

Atsakymas

C · Steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus

Kodėl tai yra atsakymas

Fenwicko medis saugo dalines sumas intervaluose, kuriuos nusako kiekvieno indekso žemesnieji bitai, todėl ir prefiksų sumos, ir taškiniai atnaujinimai užtrunka O(log n).

Atsakymas

B · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 7

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

18 − 1 = 17

Pašalintinos briaunos

k = 24 − 17 = 7

Atsakymas

k = 7
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 40

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BD (1): imti
DE (5): imti
AB (7): imti
BE (10): praleisti, uždaro ciklą
BC (11): imti
CE (12): praleisti, uždaro ciklą
AC (13): praleisti, uždaro ciklą
DF (16): imti

Bendras svoris

W = 1 + 5 + 7 + 11 + 16 = 40

Atsakymas

W = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms