Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl dinaminis programavimas realiai nepagreitina rikiavimo suliejimu?

  1. AJo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
  2. BRikiavimas suliejimu jau yra O(n)
  3. CDinaminis programavimas veikia tik su grafų uždaviniais, bet ne su masyvais
  4. DRikiavimas suliejimu neturi rekursinės struktūros
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriuos du dalykus reikia parodyti, norint įrodyti, kad sprendimo uždavinys X yra NP-pilnas?

  1. AX priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
  2. BX neturi polinominio algoritmo, ir X yra išsprendžiamas
  3. CX priklauso P, ir X redukuojamas į SAT
  4. DX redukuojamas į P uždavinį, ir X priklauso NP
3.Duomenų struktūrosVidutinis

7 dydžio maišos lentelė naudoja h(k) = k mod 7 ir tiesinį zondavimą. Kur saugomas 17, įterpus 10?

  1. AIndeksu 0
  2. BIndeksu 6
  3. CIndeksu 3
  4. DIndeksu 4
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią tiesinio zondavimo problemą dvigubas maišymas (double hashing) daugiausia sumažina?

  1. ARakto reikšmės skaitymo O(n) kainą
  2. BPirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
  3. CPoreikį saugoti raktus lentelėje
  4. DMaišos funkcijos poreikį
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 12 viršūnių ir 22 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 12|E| = 22
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš E į C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimo suliejimu pusės nesikerta ir kiekviena sprendžiama vieną kartą; DP padeda tik tada, kai daliniai uždaviniai kartojasi, kaip Fibonačio atveju.

Atsakymas

A · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X

Kodėl tai yra atsakymas

Priklausymas NP rodo, kad X nėra sunkesnis už NP; redukcija iš žinomo NP-pilno uždavinio rodo, kad X yra bent tokio pat sunkumo kaip visa NP klasė.

Atsakymas

A · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Indeksu 4

Kodėl tai yra atsakymas

10 mod 7 = 3 ir 17 mod 7 = 3; indeksas 3 užimtas, todėl tiesinis zondavimas bando kitą vietą – indeksą 4.

Atsakymas

D · Indeksu 4
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiesinis zondavimas žengia po 1, todėl užimtos sekos auga ir susilieja; dvigubas maišymas žingsnio dydžiui naudoja antrą maišos funkciją, todėl skirtingi raktai zonduoja skirtingas sekas.

Atsakymas

B · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 11

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

12 − 1 = 11

Pašalintinos briaunos

k = 22 − 11 = 11

Atsakymas

k = 11
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 6

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)EC = 2·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 3·1 = 6

Atsakymas

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms