Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra amortizuotas laiko sudėtingumas pridedant elementą į dinaminio masyvo, kuris prisipildęs padvigubina savo talpą, galą?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris algoritmas randa minimalų jungiamąjį medį, pakartotinai pridėdamas pigiausią briauną, kuri nesudaro ciklo?

  1. APrimo algoritmas, pradedant nuo vienos viršūnės
  2. BKruskalo algoritmas
  3. CDijkstros algoritmas
  4. DFloido–Voršalo algoritmas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Prefiksų medis (trie) ypač efektyvus:

  1. ATrumpiausių kelių paieškai
  2. BMatricų saugojimui
  3. CPrefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
  4. DSkaičių rikiavimui
4.Duomenų struktūrosSunkus

Iš n skaičių srauto reikia išlaikyti k mažiausių reikšmių naudojant O(k) atminties. Kuris būdas veikia per O(n log k)?

  1. AMin krūva, laikanti visas n reikšmių, iš kurios pabaigoje išimama k mažiausių
  2. BPaskutinių k reikšmių FIFO eilė
  3. Ck dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
  4. DVisų n reikšmių surikiuotas masyvas
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 3
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš A į E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai kopijuojami tik pasiekus dvejeto laipsnius; paskirsčius šią kainą visiems pridėjimams, vidutinė vieno pridėjimo kaina yra pastovi.

Atsakymas

A · O(1)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Kruskalo algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Kruskalo algoritmas surikiuoja briaunas pagal svorį ir prideda jas, jei jos jungia skirtingas komponentes; Primo algoritmas augina vieną medį nuo pradinės viršūnės.

Atsakymas

B · Kruskalo algoritmas
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui

Kodėl tai yra atsakymas

Trie saugo eilutes simboliais keliuose, todėl paieška ir prefiksų užklausos trunka laiką, proporcingą rakto ilgiui.

Atsakymas

C · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei

Kodėl tai yra atsakymas

Max krūvos šaknis yra didžiausia laikoma reikšmė; bet kuri mažesnė nauja reikšmė ją pakeičia per O(log k), todėl krūvoje visada yra k mažiausių iki šiol reikšmių.

Atsakymas

C · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6

Atsakymas

L = 6

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 1

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)AE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 0·0 = 1

Atsakymas

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms