Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kaip Primo algoritmas sudaro minimalų jungiamąjį medį?

  1. AJis šalina brangiausią briauną, kol nebelieka ciklų
  2. BJis vykdo paiešką platyn ir pasilieka BFS medį
  3. CJis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
  4. DJis surikiuoja visas briaunas pagal svorį ir prideda kiekvieną, jei ji miške nesudaro ciklo
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris P klasės apibrėžimas teisingas?

  1. ASprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką
  2. BUždaviniai, kuriuos galima spręsti lygiagrečiai
  3. CUždaviniai, kuriems bet kuriame kompiuteryje reikia eksponentinio laiko
  4. DUždaviniai, kurių sprendinius galima patikrinti, bet niekada nerasti per polinominį laiką
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia sargybinio (fiktyvaus, sentinel) mazgo paskirtis susietajame sąraše?

  1. APadaryti sąrašą surikiuotą
  2. BNeleisti sąrašui augti virš nustatyto didžiausio mazgų skaičiaus
  3. CSupaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
  4. DSaugoti elementų skaičių
4.Duomenų struktūrosSunkus

Iš n skaičių srauto reikia išlaikyti k mažiausių reikšmių naudojant O(k) atminties. Kuris būdas veikia per O(n log k)?

  1. AMin krūva, laikanti visas n reikšmių, iš kurios pabaigoje išimama k mažiausių
  2. Bk dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
  3. CPaskutinių k reikšmių FIFO eilė
  4. DVisų n reikšmių surikiuotas masyvas
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 33 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
1210131121424ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną

Kodėl tai yra atsakymas

Primo algoritmas su kertančių briaunų prioritetine eile, naudojant dvejetainę krūvą, veikia per O(E log V).

Atsakymas

C · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Sprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

P apima sprendimo uždavinius, turinčius deterministinį polinominio laiko algoritmą, pvz., patikrinimą, ar grafas jungus.

Atsakymas

A · Sprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

Kodėl tai yra atsakymas

Su sargybiniu kiekvienas tikras mazgas turi pirmtaką, todėl įterpimui ar šalinimui pradžioje nereikia specialaus apdorojimo.

Atsakymas

C · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei

Kodėl tai yra atsakymas

Max krūvos šaknis yra didžiausia laikoma reikšmė; bet kuri mažesnė nauja reikšmė ją pakeičia per O(log k), todėl krūvoje visada yra k mažiausių iki šiol reikšmių.

Atsakymas

B · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 14

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 24 = 2(L + 6) − 2
L = 14

Atsakymas

L = 14

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 15

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 12
C (12): E: 13, G: 26
E (13): D: 16, F: 15, G: 17
F (15)
D (16): B: 26
G (17)
B (26)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F
d(F) = 15

Atsakymas

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms