Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ar teisinga sakyti, kad O(n²) algoritmas yra ir O(n³)?

  1. ATaip, bet tik jei n mažesnis už 100
  2. BNe, nes dideliems n n³ mažesnis už n²
  3. CNe, nes didysis O visada turi nurodyti tikslų funkcijos augimo greitį
  4. DTaip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie k-ojo mažiausio nesurikiuoto masyvo elemento išrinkimą teisingas?

  1. AQuickselect blogiausiu atveju veikia per O(log n), nes rekursija vyksta tik į vieną atramos elemento pusę
  2. BQuickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju
  3. CIšrinkimui visada reikia Ω(n log n), nes reikia rikiavimo
  4. DIšrinkimas įmanomas tik per O(n²)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą vykdoma programa naudoja aktyviems funkcijų kvietimams ir jų lokaliesiems kintamiesiems sekti?

  1. ADinaminės atminties (heap) eilę
  2. BKvietimų steką
  3. CRėmelių dvejetainį paieškos medį
  4. DFunkcijų maišos lentelę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokios yra vienkrypčio susietojo sąrašo apvertimo vietoje laiko ir papildomos atminties sąnaudos?

  1. AO(n) laiko ir O(1) papildomos atminties
  2. BO(1) laiko ir O(1) papildomos atminties
  3. CO(n log n) laiko ir O(1) papildomos atminties
  4. DO(n) laiko ir O(n) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
1182121085123ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³

Kodėl tai yra atsakymas

Didysis O yra viršutinis rėžis, todėl teiginys teisingas, bet ne glaudus; Θ(n²) nurodo tikslų augimo greitį.

Atsakymas

D · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Quickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju

Kodėl tai yra atsakymas

Su atsitiktiniais atraminiais elementais quickselect tikėtinas darbas yra n + n/2 + n/4 + ... = O(n); atraminį elementą parenkant kaip medianų medianą, blogiausias atvejis tampa tiesinis.

Atsakymas

B · Quickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kvietimų steką

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas kvietimas įdeda steko rėmelį, o kiekvienas grįžimas jį išima, todėl naujausias kvietimas baigiasi pirmas.

Atsakymas

B · Kvietimų steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties

Kodėl tai yra atsakymas

Laikant tris rodykles (ankstesnę, einamąją, kitą), kiekvieną ryšį galima apversti vienu perėjimu, neišskiriant naujų mazgų.

Atsakymas

A · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

A, B, C, D, E, F → 6
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 11, C: 8
C (8): B: 10, G: 20
B (10): D: 22, G: 15
G (15): E: 18
E (18): F: 26
D (22)
F (26)

Trumpiausias kelias

A → C → B → G → E → F
d(F) = 26

Atsakymas

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms