Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra standartinio dinaminio programavimo algoritmo, ieškančio m ir n ilgio eilučių ilgiausio bendro posekio, laiko sudėtingumas?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Karacubos daugyba tenkina T(n) = 3T(n/2) + O(n). Kam lygus sprendinys?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(nlog₂ 3), apie n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n3)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka patikrinti, ar briauna (u, v) egzistuoja, naudojant gretimumo matricą?

  1. AO(E)
  2. BO(V)
  3. CO(1)
  4. DO(log V)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kaip naudojant O(1) papildomos atminties nustatyti, ar vienkrypčiame susietajame sąraše yra ciklas?

  1. AKiekvieną aplankytą mazgą saugoti maišos aibėje
  2. BSurikiuoti sąrašą ir ieškoti pasikartojimų
  3. CSkaičiuoti mazgus, kol skaičius viršys sąrašo ilgio lauką
  4. DVieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(mn)

Kodėl tai yra atsakymas

Lentelėje yra (m + 1)(n + 1) langelių, ir kiekvienas apskaičiuojamas per O(1) iš kaimynų.

Atsakymas

C · O(mn)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, pagal pagrindinę teoremą dominuoja lapai, todėl metodas aplenkia mokyklinį O(n²) metodą.

Atsakymas

B · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Matricos įrašas u eilutėje ir v stulpelyje iš karto parodo, ar briauna egzistuoja; gretimumo sąraše gali tekti peržiūrėti u kaimynus.

Atsakymas

C · O(1)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Vieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo algoritme, jei yra ciklas, greitoji rodyklė galiausiai pasiveja lėtąją; kitu atveju greitoji rodyklė pasiekia null.

Atsakymas

D · Vieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

B, C, D, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms