Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Naivaus rekursyvaus Fibonačio skaičių skaičiavimo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) laiko sudėtingumas yra:

  1. APastovus
  2. BLogaritminis
  3. CTiesinis
  4. DEksponentinis
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?

  1. AJis patikrina, ar kuri nors briauna turi neigiamą svorį
  2. BPo V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
  3. CJis du kartus paleidžia Dijkstros algoritmą ir palygina abu atstumų rezultatus
  4. DJis suskaičiuoja ciklus paieška gilyn
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip žiedinėje eilėje, saugomoje n talpos masyve, apskaičiuojama kita pozicija po indekso i?

  1. Ai + 1
  2. B2i + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. D(i + 1) mod n
4.Duomenų struktūrosSunkus

Iš n skaičių srauto reikia išlaikyti k mažiausių reikšmių naudojant O(k) atminties. Kuris būdas veikia per O(n log k)?

  1. AMin krūva, laikanti visas n reikšmių, iš kurios pabaigoje išimama k mažiausių
  2. Bk dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
  3. CPaskutinių k reikšmių FIFO eilė
  4. DVisų n reikšmių surikiuotas masyvas
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K6? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K6
H =
6.Grafų teorijaSunkus
1014156214812ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Eksponentinis

Kodėl tai yra atsakymas

Iškvietimų medis auga maždaug kaip φⁿ (apie 1,618ⁿ). Memoizacija sumažina sudėtingumą iki O(n).

Atsakymas

D · Eksponentinis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.

Atsakymas

B · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · (i + 1) mod n

Kodėl tai yra atsakymas

Modulio operacija indeksą n − 1 grąžina į 0, todėl masyvas naudojamas pakartotinai, nepastumiant elementų.

Atsakymas

D · (i + 1) mod n
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei

Kodėl tai yra atsakymas

Max krūvos šaknis yra didžiausia laikoma reikšmė; bet kuri mažesnė nauja reikšmė ją pakeičia per O(log k), todėl krūvoje visada yra k mažiausių iki šiol reikšmių.

Atsakymas

B · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 60

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Atsakymas

H = 60
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 30

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 10
B (10): C: 24, D: 25, E: 22
E (22): D: 24, F: 30
C (24)
D (24)
F (30)

Trumpiausias kelias

A → B → E → F
d(F) = 30

Atsakymas

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms