Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką apskaičiuoja Floydo–Warshallo algoritmas ir kaip greitai?

  1. ATrumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
  2. BTrumpiausius kelius iš vienos šaltinio viršūnės į visas kitas per O(V + E)
  3. CMinimalų jungiamąjį medį per O(E log V)
  4. DTopologinę tvarką per O(V²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

  1. APer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
  2. BPer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
  3. CParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
  4. DParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurį abstraktųjį duomenų tipą Dijkstros algoritmas naudoja kitai apdorojamai viršūnei parinkti?

  1. AMin prioritetinę eilę
  2. BNesutvarkytą aibę
  3. CFIFO eilę
  4. DSteką
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią tiesinio zondavimo problemą dvigubas maišymas (double hashing) daugiausia sumažina?

  1. ARakto reikšmės skaitymo O(n) kainą
  2. BPirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
  3. CPoreikį saugoti raktus lentelėje
  4. DMaišos funkcijos poreikį
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 9 viršūnių ir 14 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 9|E| = 14
k =
6.Grafų teorijaSunkus
1491421514797139ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo–Warshallo algoritmas yra dinaminio programavimo algoritmas, kuris paeiliui leidžia kiekvieną viršūnę naudoti kaip tarpinį tašką, sunaudodamas O(V³) laiko.

Atsakymas

A · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

B · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Min prioritetinę eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Min prioritetinė eilė, paprastai dvejetainė krūva, efektyviai grąžina neaplankytą viršūnę su mažiausiu atstumu.

Atsakymas

A · Min prioritetinę eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiesinis zondavimas žengia po 1, todėl užimtos sekos auga ir susilieja; dvigubas maišymas žingsnio dydžiui naudoja antrą maišos funkciją, todėl skirtingi raktai zonduoja skirtingas sekas.

Atsakymas

B · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

9 − 1 = 8

Pašalintinos briaunos

k = 14 − 8 = 6

Atsakymas

k = 6
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 23

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 14, C: 9
C (9): E: 24, G: 22
B (14): D: 16, G: 21
D (16): F: 23
G (21)
F (23)
E (24)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 23

Atsakymas

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms