Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl didžiojo O žymėjime logaritmo pagrindas paprastai nenurodomas, kaip O(log n)?

  1. APagrindas svarbus tik mažiems n
  2. BLogaritmai visada apvalinami iki sveikųjų skaičių
  3. CSkirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu
  4. DVisų logaritmų informatikoje pagrindas yra 10, todėl jis numanomas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Karacubos daugyba tenkina T(n) = 3T(n/2) + O(n). Kam lygus sprendinys?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(nlog₂ 3), apie n1,585
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks preorder apėjimas?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri apėjimų pora visada vienareikšmiškai nusako dvejetainį medį su skirtingais raktais?

  1. AVien preorder
  2. BPreorder ir inorder
  3. CPreorder ir postorder
  4. DVien apėjimas lygmenimis
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš B į E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Skirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu

Kodėl tai yra atsakymas

Pakeitus pagrindą, logaritmas padauginamas iš konstantos, o didysis O nepaiso pastovių daugiklių.

Atsakymas

C · Skirtingų pagrindų logaritmai skiriasi tik pastoviu daugikliu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, pagal pagrindinę teoremą dominuoja lapai, todėl metodas aplenkia mokyklinį O(n²) metodą.

Atsakymas

B · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 1 2 4 5 3

Kodėl tai yra atsakymas

Preorder aplanko 1, tada jo kairįjį pomedį (2, 4, 5), tada 3; kiti variantai yra inorder, postorder ir apėjimas lygmenimis.

Atsakymas

B · 1 2 4 5 3
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Preorder ir inorder

Kodėl tai yra atsakymas

Preorder nurodo šaknį, o jos padėtis inorder sekoje atskiria kairįjį ir dešinįjį pomedžius; preorder su postorder yra dviprasmiški, kai mazgas turi vieną vaiką.

Atsakymas

B · Preorder ir inorder
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1

Nelyginės viršūnės

B, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 2

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)BE = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0 = 2

Atsakymas

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms