Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuri godžioji taisyklė veiklų atrankos uždavinyje visada duoda didžiausią nepersidengiančių veiklų skaičių?

  1. APirmiausia pasirinkti veiklą, turinčią mažiausiai persidengimų, tada kartoti su suderinamomis
  2. BPirmiausia pasirinkti trumpiausią veiklą
  3. CPasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
  4. DPasirinkti anksčiausiai prasidedančią veiklą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Topologinis rikiavimas galimas tik:

  1. ANekryptiniams grafams
  2. BGrafams su neigiamais svoriais
  3. CKryptiniams acikliniams grafams
  4. DPilniesiems grafams
3.Duomenų struktūrosVidutinis

7 dydžio maišos lentelė naudoja h(k) = k mod 7 ir tiesinį zondavimą. Kur saugomas 17, įterpus 10?

  1. AIndeksu 6
  2. BIndeksu 3
  3. CIndeksu 0
  4. DIndeksu 4
4.Duomenų struktūrosSunkus

Raktai 5, 3, 8, 1 šia tvarka įterpiami į tuščią masyvu grįstą dvejetainę min krūvą. Koks galutinis masyvas?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 16 viršūnių ir 18 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 16|E| = 18
k =
6.Grafų teorijaSunkus
9211265714ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis

Kodėl tai yra atsakymas

Anksčiausios pabaigos pasirinkimo optimalumą galima įrodyti mainų argumentu; kitoms taisyklėms yra kontrpavyzdžių.

Atsakymas

C · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Kryptiniams acikliniams grafams

Kodėl tai yra atsakymas

Topologinė tvarka egzistuoja tada ir tik tada, kai kryptinis grafas neturi ciklų; ją galima rasti per O(V + E) naudojant DFS arba Kano algoritmą.

Atsakymas

C · Kryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Indeksu 4

Kodėl tai yra atsakymas

10 mod 7 = 3 ir 17 mod 7 = 3; indeksas 3 užimtas, todėl tiesinis zondavimas bando kitą vietą – indeksą 4.

Atsakymas

D · Indeksu 4
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · [1, 3, 8, 5]

Kodėl tai yra atsakymas

Po 5, 3, 8 masyvas yra [3, 5, 8]; 1 patenka į indeksą 3, susikeičia su tėvu 5, o tada su 3, todėl gaunama [1, 3, 8, 5].

Atsakymas

A · [1, 3, 8, 5]
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

16 − 1 = 15

Pašalintinos briaunos

k = 18 − 15 = 3

Atsakymas

k = 3
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 20

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 9
B (9): C: 11, D: 20, E: 23
C (11): E: 13
E (13): D: 19, F: 20
D (19)
F (20)

Trumpiausias kelias

A → B → C → E → F
d(F) = 20

Atsakymas

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms