Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl dinaminis programavimas realiai nepagreitina rikiavimo suliejimu?

  1. ARikiavimas suliejimu neturi rekursinės struktūros
  2. BRikiavimas suliejimu jau yra O(n)
  3. CJo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
  4. DDinaminis programavimas veikia tik su grafų uždaviniais, bet ne su masyvais
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris iš šių įvykdomumo uždavinių, kaip žinoma, išsprendžiamas per polinominį laiką?

  1. A2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
  2. B3-SAT, kai kiekviename disjunkte yra lygiai trys literalai
  3. CLoginės schemos įvykdomumas
  4. DBendrasis SAT konjunkcinės normaliosios formos formulėms
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia rakto paieškos subalansuotame dvejetainiame paieškos medyje laiko sudėtingumas?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri savybė kiekvieną B medį išlaiko tobulai subalansuotą?

  1. AKiekvienas mazgas turi lygiai du vaikus
  2. BVisi lapai yra tame pačiame gylyje
  3. CRaktai saugomi tik šaknyje
  4. DKiekvienas mazgas saugo vieną raktą
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
841513151481411ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimo suliejimu pusės nesikerta ir kiekviena sprendžiama vieną kartą; DP padeda tik tada, kai daliniai uždaviniai kartojasi, kaip Fibonačio atveju.

Atsakymas

C · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

Kodėl tai yra atsakymas

2-SAT priklauso P (tiesinis laikas per stipriai jungias komponentes), o 3-SAT yra NP-pilnas.

Atsakymas

A · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuoto medžio aukštis yra apie log₂ n, todėl paieška eina vienu keliu nuo šaknies iki lapo.

Atsakymas

C · O(log n)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Visi lapai yra tame pačiame gylyje

Kodėl tai yra atsakymas

Užsipildę mazgai skyla aukštyn, o medis paaukštėja tik skylant šakniai, todėl visi lapai visada lieka tame pačiame lygmenyje.

Atsakymas

B · Visi lapai yra tame pačiame gylyje
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 18 = 2(L + 5) − 2
L = 10

Atsakymas

L = 10

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 29

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 8, C: 4
C (4): E: 19
B (8): D: 21
E (19): F: 33
D (21): F: 29
F (29)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 29

Atsakymas

d(F) = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms