Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Maždaug kiek palyginimų blogiausiu atveju reikia dvejetainei paieškai surikiuotame 1,000,000 elementų masyve?

  1. AApie 500,000
  2. BApie 100
  3. CApie 20
  4. DApie 1,000
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Paėmus abu kiekvienos maksimalaus poravimo (maximal matching) briaunos galus, gaunamas viršūnių denginys. Koks geras šis denginys?

  1. ADaugiausia log n kartų didesnis už minimalų
  2. BVisada minimalus viršūnių denginys
  3. CDaugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
  4. DNežinomos kokybės, palyginti su optimaliu
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia postfiksinio reiškinio 3 4 + 2 * reikšmė?

  1. A10
  2. B14
  3. C11
  4. D24
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

  1. AJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
  2. BSu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
  3. CJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
  4. DJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
63141114177ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Apie 20

Kodėl tai yra atsakymas

220 ≈ 1,048,576, todėl po maždaug 20 dalijimų pusiau lieka tik vienas elementas.

Atsakymas

C · Apie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį

Kodėl tai yra atsakymas

Poravimo briaunos neturi bendrų viršūnių, todėl optimaliam sprendiniui reikia bent vienos viršūnės kiekvienai briaunai, o šis metodas paima dvi: tai 2-aproksimacija.

Atsakymas

C · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 14

Kodėl tai yra atsakymas

Įdedami 3 ir 4, + duoda 7; įdedamas 2, * duoda 7 × 2 = 14.

Atsakymas

B · 14
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas krūva sudaro max krūvą ir n kartų išima maksimumą tame pačiame masyve; sukeitimai dideliais atstumais gali pakeisti vienodų raktų tvarką.

Atsakymas

C · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 1, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Nelyginės viršūnės

B, C, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 32

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BC (1): imti
AC (3): imti
BD (4): imti
AB (6): praleisti, uždaro ciklą
BE (7): imti
CE (11): praleisti, uždaro ciklą
DE (14): praleisti, uždaro ciklą
DF (17): imti

Bendras svoris

W = 1 + 3 + 4 + 7 + 17 = 32

Atsakymas

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms