Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kiek steko vietos naudoja paprasta rekursinė faktorialo funkcija fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kas išplauktų, jei kas nors rastų polinominio laiko algoritmą vienam NP-pilnam uždaviniui?

  1. ATik tas vienas uždavinys pereitų į P
  2. BStabdymo problema taptų išsprendžiama
  3. CVisi eksponentinio laiko algoritmai nedelsiant imtų veikti tiesiniu laiku
  4. DKiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio paieškos medžio apėjimas in-order aplanko raktus:

  1. ALygmenų tvarka
  2. BDidėjančia (surikiuota) tvarka
  3. CĮterpimo tvarka
  4. DVisada mažėjančia tvarka
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiek laiko užtrunka bet kurio rakto paieška n elementų dvejetainėje min krūvoje?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
68141019318141117ABCDEFG

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Rekursija pasiekia n kvietimų gylį, kol kuris nors grįžta, o kiekvienam kvietimui reikia steko rėmelio, todėl naudojama O(n) vietos.

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi visa NP klasė per polinominį laiką redukuojama į bet kurį NP-pilną uždavinį, greitas algoritmas vienam duoda greitą algoritmą visiems.

Atsakymas

D · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Didėjančia (surikiuota) tvarka

Kodėl tai yra atsakymas

Aplankius kairįjį pomedį, tada mazgą, tada dešinįjį pomedį, BST raktai išvedami surikiuota tvarka.

Atsakymas

B · Didėjančia (surikiuota) tvarka
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Krūva nenustato taisyklės, kuriame pomedyje yra raktas, todėl blogiausiu atveju reikia patikrinti visus mazgus; greitai randamas tik minimumas.

Atsakymas

D · O(n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 28 = 2(L + 9) − 2
L = 12

Atsakymas

L = 12

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 35

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

GB (1): imti
DF (3): imti
GC (4): imti
AB (6): imti
BC (8): praleisti, uždaro ciklą
CE (10): imti
GD (11): imti

Bendras svoris

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 10 + 11 = 35

Atsakymas

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms