Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris algoritmas randa trumpiausius kelius iš vienos pradinės viršūnės grafe, kurio briaunų svoriai neneigiami?

  1. ADijkstros algoritmas
  2. BKruskalo algoritmas
  3. CPaieška gilyn (DFS)
  4. DVisais atvejais būtinas Belmano–Fordo algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

  1. APer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
  2. BParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką
  3. CParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
  4. DPer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kelių tinklas turi 100,000 sankryžų, kurių kiekviena sujungta su maždaug 4 kitomis. Kuris vaizdavimas tinkamiausias?

  1. AGretimumo sąrašas
  2. BGretimumo matrica
  3. CDvejetainė briaunų krūva
  4. DVienas surikiuotas viršūnių masyvas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Segmentų medis (segment tree) paprastai naudojamas:

  1. AAtsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
  2. BGrafo briaunoms saugoti
  3. CEilutėms rikiuoti abėcėlės tvarka, saugant kiekvieną prefiksą atskirame medžio mazge
  4. DStekui įgyvendinti
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K7? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K7
H =
6.Grafų teorijaSunkus
103205791813ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės E. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Ek = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna CE
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Dijkstros algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Dijkstros algoritmas veikia su neneigiamais svoriais; Belmano–Fordo algoritmas tinka ir neigiamiems svoriams; Kruskalo algoritmas sudaro minimalius jungiamuosius medžius.

Atsakymas

A · Dijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Gretimumo sąrašas

Kodėl tai yra atsakymas

Matricai reikėtų 1010 langelių, beveik visi tušti; gretimumo sąrašas saugo tik maždaug 400,000 briaunų įrašų.

Atsakymas

A · Gretimumo sąrašas
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Segmentų medis saugo intervalų agregatus ir palaiko intervalų užklausas bei taškinius atnaujinimus per O(log n) laiko.

Atsakymas

A · Atsakyti į intervalų užklausas (pvz., intervalų sumas) ir atnaujinti per O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna DE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. CE (5)
2. AC (3)
3. DE (7)
4. DF (9)
5. AB (10)

briaunos numeris 3

DE

Atsakymas

briauna DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms