Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(n) sprendinys?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriam kuprinės uždavinio variantui godžioji taisyklė „imti daiktus pagal vertės ir svorio santykį“ visada duoda optimalų atsakymą?

  1. AAbiem variantams
  2. B0/1 kuprinei, kai daiktai visada imami ištisi
  3. CNė vienam variantui
  4. DTrupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip dvejetainėje min krūvoje veikia extract-min?

  1. ANaujo minimumo ieškoma visuose lapuose
  2. BPašalinamas paskutinis masyvo elementas
  3. CPaskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
  4. DPašalinama šaknis, o visi elementai pastumiami viena vieta į kairę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

  1. ASu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
  2. BJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
  3. CJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
  4. DJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 16 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 16
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš D į B? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Darbas susumuoja iki maždaug n² / 2; tai rikiavimo išrinkimu arba greitojo rikiavimo su blogiausiu atraminiu elementu rekurentinė lygtis.

Atsakymas

A · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Trupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti

Kodėl tai yra atsakymas

Kai daiktus galima dalyti, geriausio santykio pirmenybė optimali; 0/1 kuprinėje didelio santykio daiktas gali užblokuoti geresnį derinį, todėl reikia dinaminio programavimo.

Atsakymas

D · Trupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)

Kodėl tai yra atsakymas

Paskutinis elementas užpildo tuščią vietą šaknyje ir keičiamas vietomis su mažesniuoju vaiku, kol galioja krūvos savybė; tai užtrunka O(log n).

Atsakymas

C · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas krūva sudaro max krūvą ir n kartų išima maksimumą tame pačiame masyve; sukeitimai dideliais atstumais gali pakeisti vienodų raktų tvarką.

Atsakymas

D · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 4

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 16 − 12 = 4

Atsakymas

k = 4
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 6

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)DB = 1·1 + 1·0 + 2·1 + 2·1 + 1·1 = 6

Atsakymas

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms