Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris rikiavimo algoritmas yra stabilus?

  1. ARikiavimas krūva
  2. BGreitasis rikiavimas (įprasta versija vietoje)
  3. CRikiavimas suliejimu
  4. DRikiavimas išrinkimu (įprasta versija)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Rikiavimas įterpimu surikiuotai įvesčiai veikia per O(n). Ar tai prieštarauja rikiavimo palyginimais apatiniam rėžiui Ω(n log n)?

  1. ATaip, bet tik trumpesniems nei 100 masyvams
  2. BTaip, todėl apatinis rėžis neteisingas
  3. CNe, nes rikiavimas įterpimu nėra rikiavimas palyginimais
  4. DNe, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip rasti mažiausią raktą dvejetainiame paieškos medyje?

  1. ANuo šaknies eiti dešiniaisiais vaikais, kol nebėra dešiniojo vaiko
  2. BAplankyti kiekvieną lapą ir juos palyginti
  3. CPažiūrėti tik į šaknį
  4. DNuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiekvienam masyvo elementui norite rasti artimiausią didesnį elementą į dešinę, iš viso per O(n). Kuri struktūra padeda?

  1. AStekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
  2. BEilė, laikanti kiekvieną elementų porą
  3. CVisų elementų maišos lentelė
  4. DKiekvienam elementui iš naujo sudaromas dvejetainis paieškos medis
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
15161411417121ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Rikiavimas suliejimu

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas suliejimu yra stabilus, jei esant lygiems raktams suliejant pirmiausia imamas elementas iš kairiosios pusės. Greitasis rikiavimas vietoje, rikiavimas krūva ir rikiavimas išrinkimu paprastai nėra stabilūs.

Atsakymas

C · Rikiavimas suliejimu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai

Kodėl tai yra atsakymas

Rėžis teigia, kad kiekvienam rikiavimui palyginimais su kuria nors n dydžio įvestimi reikia apie n log n palyginimų; ypatingos įvestys gali būti apdorojamos daug greičiau.

Atsakymas

D · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Nuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko

Kodėl tai yra atsakymas

Kairiausias mazgas medyje neturi mažesnio rakto, todėl jis yra minimumas; kaina proporcinga aukščiui.

Atsakymas

D · Nuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai

Kodėl tai yra atsakymas

Einant iš kairės į dešinę, iš steko išimami visi už einamąjį mažesni elementai (einamasis elementas yra jų atsakymas), tada jis įdedamas; kiekvienas elementas juda daugiausia dukart.

Atsakymas

A · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Nelyginės viršūnės

C, D, E, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 43

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BE (1): imti
DE (4): imti
CE (11): imti
EF (12): imti
BD (14): praleisti, uždaro ciklą
AB (15): imti

Bendras svoris

W = 1 + 4 + 11 + 12 + 15 = 43

Atsakymas

W = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms