Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Funkcija vykdo vieną n iteracijų ciklą, o paskui, atskirai, dar vieną n iteracijų ciklą. Koks jos laiko sudėtingumas?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriuos du dalykus reikia parodyti, norint įrodyti, kad sprendimo uždavinys X yra NP-pilnas?

  1. AX redukuojamas į P uždavinį, ir X priklauso NP
  2. BX priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
  3. CX priklauso P, ir X redukuojamas į SAT
  4. DX neturi polinominio algoritmo, ir X yra išsprendžiamas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip rasti mažiausią raktą dvejetainiame paieškos medyje?

  1. ANuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko
  2. BNuo šaknies eiti dešiniaisiais vaikais, kol nebėra dešiniojo vaiko
  3. CAplankyti kiekvieną lapą ir juos palyginti
  4. DPažiūrėti tik į šaknį
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri struktūra leidžia apskaičiuoti kiekvieno k dydžio masyvo lango maksimumą iš viso per O(n)?

  1. ALango elementų vienkrypčis susietasis sąrašas
  2. BPastūmimais atnaujinamas surikiuotas masyvas
  3. CKiekvienam langui iš naujo sudaroma min krūva
  4. DDekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
1159218715ABCDE

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

n + n = 2n, o pastovūs daugikliai atmetami, todėl funkcija yra O(n).

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X

Kodėl tai yra atsakymas

Priklausymas NP rodo, kad X nėra sunkesnis už NP; redukcija iš žinomo NP-pilno uždavinio rodo, kad X yra bent tokio pat sunkumo kaip visa NP klasė.

Atsakymas

B · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Nuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko

Kodėl tai yra atsakymas

Kairiausias mazgas medyje neturi mažesnio rakto, todėl jis yra minimumas; kaina proporcinga aukščiui.

Atsakymas

A · Nuo šaknies eiti kairiaisiais vaikais, kol nebėra kairiojo vaiko
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Dekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka

Kodėl tai yra atsakymas

Deko priekis visada yra lango maksimumas; kiekvienas indeksas į deką patenka ir iš jo išeina vieną kartą, todėl darbas tiesinis.

Atsakymas

D · Dekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

A, C, D, E, F, G → 6
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BC

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. BD (2)
2. AC (5)
3. DE (7)
4. BC (9)

briaunos numeris 4

BC

Atsakymas

briauna BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms