Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris teiginys apie rekursinę funkciją be pasiekiamo bazinio atvejo teisingas?

  1. AJi automatiškai grąžina 0
  2. BJi vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas
  3. CKompiliatorius visada ją paverčia ciklu, kuris saugiai pasibaigia
  4. DJi veikia per O(1) laiką
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuo skiriasi neišsprendžiamas uždavinys nuo praktiškai neišsprendžiamo (intractable)?

  1. ANeišsprendžiami uždaviniai priklauso NP, o praktiškai neišsprendžiami – P
  2. BAbu reiškia, kad uždavinys visai neturi algoritmo
  3. CNeišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
  4. DPraktiškai neišsprendžiamų uždavinių negali išspręsti joks algoritmas, o neišsprendžiamiems reikia tik eksponentinio laiko
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka patikrinti, ar briauna (u, v) egzistuoja, naudojant gretimumo matricą?

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(log V)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Koks pagrindinis šuolių sąrašo (skip list) pranašumas prieš surikiuotą susietąjį sąrašą?

  1. AJis saugo raktus be tvarkos
  2. BGarantuota O(1) paieška, nes kiekvienas mazgas saugo rodyklę į kiekvieną kitą mazgą
  3. CTikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis
  4. DJis nenaudoja papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
544125773ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Ji vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas

Kodėl tai yra atsakymas

Be bazinio atvejo rekursija niekada nesibaigia; praktiškai pritrūksta atminties steko rėmeliams ir programa nulūžta.

Atsakymas

B · Ji vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

Kodėl tai yra atsakymas

Stabdymo problema visai neturi algoritmo; NP-sunkų uždavinį, pvz., TSP, galima išspręsti perrinkimu, tik ne per žinomą polinominį laiką.

Atsakymas

C · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Matricos įrašas u eilutėje ir v stulpelyje iš karto parodo, ar briauna egzistuoja; gretimumo sąraše gali tekti peržiūrėti u kaimynus.

Atsakymas

B · O(1)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis

Kodėl tai yra atsakymas

Atsitiktiniai lygmenys leidžia paieškai praleisti daug mazgų, todėl paieškos, įterpimo ir šalinimo tikėtinas sudėtingumas yra O(log n).

Atsakymas

C · Tikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 14

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Atsakymas

L = 14

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 15

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 5, C: 4
C (4): E: 9
B (5): D: 17, E: 8
E (8): F: 15
F (15)
D (17)

Trumpiausias kelias

A → B → E → F
d(F) = 15

Atsakymas

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms