Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Palyginimais pagrįsto rikiavimo apatinis rėžis blogiausiu atveju yra:

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?

  1. AO(n log n) vienam padidinimui
  2. BO(log n) vienam padidinimui
  3. CO(n) vienam padidinimui
  4. DO(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokią balanso sąlygą AVL medis palaiko kiekviename mazge?

  1. AKiekvienas mazgas nuspalvintas raudonai arba juodai
  2. BVisi lapai lygiai tame pačiame gylyje
  3. CKairiojo ir dešiniojo pomedžių aukščiai skiriasi daugiausia 1
  4. DAbiejuose kiekvieno mazgo pomedžiuose yra lygiai tiek pat mazgų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kam Kruskalo minimalaus jungiamojo medžio algoritme naudojama union-find struktūra?

  1. APaieškos metu saugoti dabartinį kiekvienos viršūnės atstumą nuo šaltinio
  2. BSurikiuoti briaunas pagal svorį
  3. CParinkti pradinę viršūnę
  4. DPatikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
1514319147312122ABCDEFG

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 3 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Ω(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Bet kuriam palyginimais pagrįstam rikiavimui blogiausiu atveju reikia bent log₂(n!) ≈ n log n palyginimų. Rikiavimas skaičiavimu (counting sort) šį rėžį aplenkia, nes nelygina elementų.

Atsakymas

A · Ω(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(1) vienam padidinimui

Kodėl tai yra atsakymas

Per n padidinimų i-asis bitas pasikeičia apie n / 2ⁱ kartų, todėl iš viso yra mažiau nei 2n pakeitimų, vidutiniškai O(1) kiekvienam.

Atsakymas

D · O(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Kairiojo ir dešiniojo pomedžių aukščiai skiriasi daugiausia 1

Kodėl tai yra atsakymas

Balanso koeficientas (kairiojo aukštis − dešiniojo aukštis) turi būti −1, 0 arba 1; po įterpimų ir šalinimų jį atkuria posūkiai.

Atsakymas

C · Kairiojo ir dešiniojo pomedžių aukščiai skiriasi daugiausia 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti

Kodėl tai yra atsakymas

Find parodo, ar abu galai yra toje pačioje komponentėje; jei ne, briauna pridedama, o union sujungia komponentes.

Atsakymas

D · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 26 = 2(L + 8) − 2
L = 12

Atsakymas

L = 12

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: B

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 15, C: 14
2. C (14): E: 23, G: 26
3. B (15): D: 16, G: 18
4. D (16)
5. G (18): E: 20
6. E (20): F: 27
7. F (27)

etapas 3

B

Atsakymas

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms