Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris algoritmas randa trumpiausius kelius iš vienos pradinės viršūnės grafe, kurio briaunų svoriai neneigiami?

  1. APaieška gilyn (DFS)
  2. BDijkstros algoritmas
  3. CKruskalo algoritmas
  4. DVisais atvejais būtinas Belmano–Fordo algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris metodas užtikrina tikėtiną O(n log n) greitojo rikiavimo vykdymo laiką bet kokiems įvesties duomenims?

  1. AAtraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį
  2. BRekursijos taikymas tik kairiajai pusei
  3. CVisada pirmojo elemento parinkimas
  4. DĮvesties duomenų surikiavimas prieš paleidžiant greitąjį rikiavimą
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks postorder apėjimas?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Struktūros union-find (nesikertančios aibės) su jungimu pagal rangą ir kelio suspaudimu amortizuota vienos operacijos kaina yra:

  1. AO(n²)
  2. BTiksliai O(log n)
  3. CO(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
  4. DO(n)
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
20151413795ABCDE

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės D. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2.

pradžia: Dk = 2
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Dijkstros algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Dijkstros algoritmas veikia su neneigiamais svoriais; Belmano–Fordo algoritmas tinka ir neigiamiems svoriams; Kruskalo algoritmas sudaro minimalius jungiamuosius medžius.

Atsakymas

B · Dijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Atraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį

Kodėl tai yra atsakymas

Parenkant atsitiktinį atraminį elementą, tikėtinas vykdymo laikas yra O(n log n) bet kokiems įvesties duomenims; blogi atvejai vis dar egzistuoja, bet yra labai mažai tikėtini.

Atsakymas

A · Atraminio elemento parinkimas atsitiktinai pagal tolygųjį skirstinį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 4 5 2 3 1

Kodėl tai yra atsakymas

Postorder apdoroja 4 ir 5 prieš 2, tada 3 ir galiausiai šaknį 1.

Atsakymas

D · 4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant abi optimizacijas, operacijos trunka O(α(n)) amortizuoto laiko; α(n) ≤ 4 bet kokiam realiam n.

Atsakymas

C · O(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

D, E, F, G → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. DE (9)
2. BE (5)
3. CE (7)
4. AC (15)

briaunos numeris 2

BE

Atsakymas

briauna BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms