Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo laiko sudėtingumas, naudojant lentelę „iš apačios į viršų“?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

0/1 kuprinės uždavinys, sprendžiamas dinaminiu programavimu, užtrunka O(nW) laiko. Kodėl tai vadinama pseudopolinominiu laiku?

  1. ANes jis veikia tik kai W = 0
  2. BW yra skaitinė reikšmė, todėl laikas yra eksponentinis bitų, reikalingų W užrašyti, skaičiaus atžvilgiu
  3. CNes n visada mažas
  4. DNes algoritmas yra atsitiktinis ir jo vykdymo laikas kinta su kiekviena įvestimi
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka L ilgio žodžio paieška Trie medyje su fiksuota abėcėle?

  1. AO(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
  2. BO(n), kur n yra žodžių skaičius
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), kur n yra žodžių skaičius
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią savybę turi tenkinti raudonai juodas medis?

  1. AKiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius
  2. BŠaknis turi būti raudona
  3. CKiekvienas raudonas mazgas turi turėti raudonus vaikus, todėl raudoni mazgai visada sudaro nenutrūkstamas grandines iki lapų
  4. DKiekvienas mazgas turi būti raudonas
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
6162021115195134ABCDEFG

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės A. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Ak = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna DE
  6. 6briauna DF
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna GB
  9. 9briauna GC
  10. 10briauna GD

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Užpildant lentelę nuo 0 iki n, kiekvienam įrašui reikia vienos sudėties, todėl darbas tiesinis, o ne eksponentinis.

Atsakymas

B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · W yra skaitinė reikšmė, todėl laikas yra eksponentinis bitų, reikalingų W užrašyti, skaičiaus atžvilgiu

Kodėl tai yra atsakymas

Vykdymo laikas yra polinominis W reikšmės atžvilgiu, bet eksponentinis jos ilgio (log W bitų) atžvilgiu; 0/1 kuprinės uždavinys yra NP-pilnas.

Atsakymas

B · W yra skaitinė reikšmė, todėl laikas yra eksponentinis bitų, reikalingų W užrašyti, skaičiaus atžvilgiu
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas simbolis parenka vieną vaiką, todėl paieška užtrunka L žingsnių, kad ir kiek žodžių būtų Trie medyje.

Atsakymas

A · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius

Kodėl tai yra atsakymas

Raudonai juodo medžio taisyklės: mazgai raudoni arba juodi, šaknis juoda, raudonų mazgų vaikai juodi, o visų kelių juodasis aukštis vienodas, todėl aukštis ≤ 2 log₂(n + 1).

Atsakymas

A · Kiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

B, C → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna GD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. AB (6)
2. BD (2)
3. GD (4)
4. DE (11)
5. GC (13)
6. DF (15)

briaunos numeris 3

GD

Atsakymas

briauna GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms