Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Greitasis rikiavimas visada kaip atraminį elementą naudoja pirmąjį elementą. Su kokia įvestimi jis elgiasi blogiausiai?

ASu jau surikiuotu masyvu
BSu masyvu, kurio visi elementai skirtingi
CSu atsitiktinės tvarkos masyvu
DSu 2 ilgio masyvu

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra Dijkstros algoritmo su dvejetaine krūva vykdymo laikas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

AO(V + E)
BO(V³)
CO((V + E) log V)
DO(V × E)

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia postfiksinio reiškinio 3 4 + 2 * reikšmė?

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokia blogiausio atvejo vienos find operacijos kaina union-find struktūroje su n elementų, nenaudojant jungimo pagal rangą ir kelio suspaudimo?

AO(log n)
BO(n)
CO(1)
DO(α(n))

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 6 viršūnių ir 7 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 6|E| = 7

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki D svertiniame grafe ilgį d(D).

pradžia: Apabaiga: D

d(D) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Su jau surikiuotu masyvu

Kodėl tai yra atsakymas

Surikiuotoje įvestyje atraminis elementas visada yra minimumas, todėl viena pusė tuščia, o kitoje n − 1 elementų, ir gaunama O(n²).

Atsakymas

A · Su jau surikiuotu masyvu

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O((V + E) log V)

Kodėl tai yra atsakymas

Atliekama V minimumo išėmimo ir iki E rakto sumažinimo operacijų, kurių kiekviena O(log V); Fibonačio krūva tai pagerina iki O(E + V log V).

Atsakymas

C · O((V + E) log V)

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · 14

Kodėl tai yra atsakymas

Įdedami 3 ir 4, + duoda 7; įdedamas 2, * duoda 7 × 2 = 14.

Atsakymas

A · 14

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Naivūs sujungimai gali sudėti medžius į ilgą grandinę, todėl find gali tekti pereiti n − 1 tėvo rodyklių; abi euristikos tai priartina prie konstantos.

Atsakymas

B · O(n)

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 2

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

6 − 1 = 5

Pašalintinos briaunos

k = 7 − 5 = 2

Atsakymas

k = 2

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(D) = 13

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 13, C: 2

C (2): E: 8

E (8): D: 13, F: 10

F (10)

B (13)

D (13)

Trumpiausias kelias

A → C → E → D

d(D) = 13

Atsakymas

d(D) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms