Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris algoritmas randa trumpiausius kelius iš vienos pradinės viršūnės grafe, kurio briaunų svoriai neneigiami?

  1. AVisais atvejais būtinas Belmano–Fordo algoritmas
  2. BDijkstros algoritmas
  3. CKruskalo algoritmas
  4. DPaieška gilyn (DFS)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie mažojo o žymėjimą teisingas?

  1. An = o(n), nes kiekviena funkcija yra mažasis o pati sau
  2. Bn = o(n²), bet n nėra o(n)
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), nes 2n auga lėtai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Programai reikia greitos paieškos, taip pat reikia išvardyti raktus surikiuota tvarka ir atsakyti į intervalų užklausas. Kuri struktūra tinka geriausiai?

  1. ASubalansuotas dvejetainis paieškos medis
  2. BMaišos lentelė
  3. CStekas
  4. DNesurikiuotas susietasis sąrašas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Dinaminis masyvas užsipildęs padvigubėja. Kodėl daugelis įgyvendinimų jį sumažina tik tada, kai jis užpildytas ketvirtadaliu, o ne perpus?

  1. ANes perpus mažinant esant pusei talpos būtų prarasti elementai
  2. BNes atminties paskirstytuvas gali atlaisvinti atmintį tik bloko ketvirtadaliais
  3. CKad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
  4. DKad masyvas liktų surikiuotas
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
171412192067ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Dijkstros algoritmas

Kodėl tai yra atsakymas

Dijkstros algoritmas veikia su neneigiamais svoriais; Belmano–Fordo algoritmas tinka ir neigiamiems svoriams; Kruskalo algoritmas sudaro minimalius jungiamuosius medžius.

Atsakymas

B · Dijkstros algoritmas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · n = o(n²), bet n nėra o(n)

Kodėl tai yra atsakymas

f = o(g) reiškia, kad f(n) / g(n) artėja prie 0; n / n² artėja prie 0, bet n / n = 1 – ne.

Atsakymas

B · n = o(n²), bet n nėra o(n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuotas DPM užtikrina O(log n) paiešką ir laiko raktus sutvarkytus, todėl in-order apėjimas ir intervalų užklausos paprastos; maišos lentelė raktus išbarsto.

Atsakymas

A · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

Kodėl tai yra atsakymas

Mažinant esant pusei talpos, tokioje sekoje kiekviena operacija galėtų sukelti dydžio keitimą; tarpas tarp 1/4 ir pilnos talpos išlaiko amortizuotą kainą O(1).

Atsakymas

C · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Nelyginės viršūnės

A, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 37

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BD (1): imti
DF (6): imti
EF (7): imti
CE (9): imti
BC (12): praleisti, uždaro ciklą
AC (14): imti

Bendras svoris

W = 1 + 6 + 7 + 9 + 14 = 37

Atsakymas

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms