Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Surikiuotame masyve ieškote dviejų elementų, kurių suma lygi tikslinei, judindami po vieną rodyklę nuo kiekvieno galo į vidų. Koks laiko sudėtingumas?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie mažojo o žymėjimą teisingas?

  1. An = o(n), nes kiekviena funkcija yra mažasis o pati sau
  2. Bn = o(n²), bet n nėra o(n)
  3. C2n = o(n), nes 2n auga lėtai
  4. Dn² = o(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka L ilgio žodžio paieška Trie medyje su fiksuota abėcėle?

  1. AO(log n), kur n yra žodžių skaičius
  2. BO(n), kur n yra žodžių skaičius
  3. CO(L × n)
  4. DO(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl B medžiai naudojami duomenų bazėse ir failų sistemose?

  1. AJų nereikia perbalansuoti
  2. BJie saugo nesurikiuotus duomenis
  3. CDidelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
  4. DJie naudoja mažiau atminties nei bet koks masyvas, todėl visas indeksas visada telpa operatyviojoje atmintyje
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
14156972417ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Jei suma per maža, kairioji rodyklė juda į dešinę, jei per didelė – dešinioji juda į kairę, todėl žingsnių yra daugiausia n.

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · n = o(n²), bet n nėra o(n)

Kodėl tai yra atsakymas

f = o(g) reiškia, kad f(n) / g(n) artėja prie 0; n / n² artėja prie 0, bet n / n = 1 – ne.

Atsakymas

B · n = o(n²), bet n nėra o(n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas simbolis parenka vieną vaiką, todėl paieška užtrunka L žingsnių, kad ir kiek žodžių būtų Trie medyje.

Atsakymas

D · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių

Kodėl tai yra atsakymas

B medžiai viename mazge saugo daug raktų, todėl aukštis mažas ir vienai paieškai reikia nedaug bloko skaitymų; B+ medžiai dar sujungia lapus intervalų skenavimui.

Atsakymas

C · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 8

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Atsakymas

L = 8

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 35

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

DF (2): imti
EF (4): imti
BD (6): imti
DE (7): praleisti, uždaro ciklą
CE (9): imti
AC (14): imti

Bendras svoris

W = 2 + 4 + 6 + 9 + 14 = 35

Atsakymas

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms