Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl Dijkstros algoritmas gali duoti neteisingus rezultatus, kai kai kurie briaunų svoriai neigiami?

  1. AViršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
  2. BJis veikia tik su nekryptiniais grafais
  3. CTies kiekviena neigiama briauna jis patenka į begalinį ciklą
  4. DNeigiamų skaičių negalima saugoti prioritetinėje eilėje
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip dvejetainėje min krūvoje veikia extract-min?

  1. ANaujo minimumo ieškoma visuose lapuose
  2. BPašalinama šaknis, o visi elementai pastumiami viena vieta į kairę
  3. CPaskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
  4. DPašalinamas paskutinis masyvo elementas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Bloomo filtras į klausimą „ar šis elementas yra aibėje?“ gali atsakyti:

  1. ATik skaičiams
  2. BVisada tiksliai
  3. CSu galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
  4. DSu galimais klaidingai neigiamais, bet be klaidingai teigiamų atsakymų
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 42 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
824121419931813ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna GB
  9. 9briauna GD
  10. 10briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) nlog₂ 2 = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis žingsnis remiasi neneigiamais svoriais, kad išimti atstumai būtų galutiniai; kai svoriai gali būti neigiami, naudojamas Bellmano–Fordo algoritmas.

Atsakymas

A · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)

Kodėl tai yra atsakymas

Paskutinis elementas užpildo tuščią vietą šaknyje ir keičiamas vietomis su mažesniuoju vaiku, kol galioja krūvos savybė; tai užtrunka O(log n).

Atsakymas

C · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

Kodėl tai yra atsakymas

Jei bet kuris elemento bitas lygus 0, elemento tikrai nėra; jei visi lygūs 1, jis tikriausiai yra. Bloomo filtrai iškeičia tikslumą į labai mažą atminties sąnaudą.

Atsakymas

C · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 18 = 2(L + 4) − 2
L = 12

Atsakymas

L = 12

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BC

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. AC (2)
2. GB (3)
3. BC (4)
4. EF (9)
5. BD (12)
6. GE (13)

briaunos numeris 3

BC

Atsakymas

briauna BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms