Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką apskaičiuoja Floydo–Warshallo algoritmas ir kaip greitai?

  1. ATrumpiausius kelius iš vienos šaltinio viršūnės į visas kitas per O(V + E)
  2. BMinimalų jungiamąjį medį per O(E log V)
  3. CTopologinę tvarką per O(V²)
  4. DTrumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Strasseno algoritmas matricas daugina naudodamas 7, o ne 8 rekursines pusės dydžio blokų daugybas. Koks jo vykdymo laikas?

  1. AΘ(nlog₂ 7), apie n2,81
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip žiedinėje eilėje, saugomoje n talpos masyve, apskaičiuojama kita pozicija po indekso i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Duomenų struktūrosSunkus

Objektas saugomas kaip raktas maišos atvaizdyje, o paskui pakeičiamas laukas, kurį naudoja jo maišos funkcija. Koks tikėtinas rezultatas?

  1. AObjekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
  2. BAtvaizdis automatiškai perkelia raktą į naują kibirą
  3. CNiekas nepasikeičia, nes rakto maišos reikšmė skaičiuojama tik vieną kartą programai pasileidus
  4. DAtvaizdis išmeta klaidą tą akimirką, kai laukas pasikeičia
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
1335578102ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo–Warshallo algoritmas yra dinaminio programavimo algoritmas, kuris paeiliui leidžia kiekvieną viršūnę naudoti kaip tarpinį tašką, sunaudodamas O(V³) laiko.

Atsakymas

D · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Θ(nlog₂ 7), apie n2,81

Kodėl tai yra atsakymas

Kai a = 7 ir b = 2, nlog₂ 7 dominuoja O(n²) sudėties darbą, todėl gaunama apie n2,81.

Atsakymas

A · Θ(nlog₂ 7), apie n2,81
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · (i + 1) mod n

Kodėl tai yra atsakymas

Modulio operacija indeksą n − 1 grąžina į 0, todėl masyvas naudojamas pakartotinai, nepastumiant elementų.

Atsakymas

A · (i + 1) mod n
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire

Kodėl tai yra atsakymas

Rakto vieta buvo parinkta pagal senąją maišos reikšmę; su nauja maišos reikšme paieška ieško netinkamame kibire, todėl raktai turėtų būti nekeičiami.

Atsakymas

A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Nelyginės viršūnės

C, E → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 20

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 13, C: 3
C (3): B: 8
B (8): D: 13, E: 10
E (10): F: 20
D (13)
F (20)

Trumpiausias kelias

A → C → B → E → F
d(F) = 20

Atsakymas

d(F) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms