Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodas
Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Uždaviniai
1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
Ar ¬(q ∨ ¬q) yra tautologija, prieštara ar kontingencija? Spustelėkite savo atsakymą.
¬(q ∨ ¬q)
1tautologija
2prieštara
3kontingencija
2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ((a ↔ c) ∨ b) ∨ ¬((d ↔ a) → (d ∨ c)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.
((a ↔ c) ∨ b) ∨ ¬((d ↔ a) → (d ∨ c))
N =
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis
Kiekvienas Veno diagramos skaičius yra tos srities elementų skaičius. Raskite |A ∪ B|.
|U| = 32
|A ∪ B| =
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus
Rodyklių diagrama rodo funkciją f: A → B, kur A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {a, b}. Spustelėkite aprašymą, tinkantį f.
f = {(1, a), (2, b), (3, b), (4, b), (5, b)}
1injektyvi, ne siurjektyvi
2siurjektyvi, ne injektyvi
3bijektyvi
4nei viena
5.Grafų teorijaVidutinis
Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K6? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.
K6
H =
6.Grafų teorijaSunkus
Kiek yra 3 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.
M = gretimumo matricaL = 3
N =
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis
Raskite 12 atvirkštinį moduliu 23: skaičių x, kur 0 < x < 23 ir 12·x ≡ 1 (mod 23).
a = 12n = 23
12−1 mod 23 =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 23 ir q = 29 bei viešąjį rodiklį e = 5. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).
p = 23q = 29e = 5
d =
3Tirpalai
1.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: prieštara
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Teisingumo lentelė eilutė po eilutės
q = 1: ¬q = 0, q ∨ ¬q = 1, ¬(q ∨ ¬q) = 0
q = 0: ¬q = 1, q ∨ ¬q = 1, ¬(q ∨ ¬q) = 0
Klasifikuokite
¬(q ∨ ¬q): 0, 0
0 kiekvienoje eilutėje: prieštara.
Atsakymas
prieštara
2.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: N = 12
Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.
Stulpeliai
a ↔ c; (a ↔ c) ∨ b; d ↔ a; d ∨ c; (d ↔ a) → (d ∨ c); ¬((d ↔ a) → (d ∨ c)); ((a ↔ c) ∨ b) ∨ ¬((d ↔ a) → (d ∨ c))
Skaidymas pagal a
a = 1: 6
a = 0: 6
N = 6 + 6 = 12
Atsakymas
N = 12
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: |A ∪ B| = 27
Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Išraiškos sritys
A ∩ B′ ∩ C′: 2
A′ ∩ B ∩ C′: 6
A ∩ B ∩ C′: 3
A ∩ B′ ∩ C: 12
A′ ∩ B ∩ C: 3
A ∩ B ∩ C: 1
Sudėtis
|A ∪ B| = 2 + 6 + 3 + 12 + 3 + 1 = 27
Atsakymas
|A ∪ B| = 27
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: siurjektyvi, ne injektyvi
Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.
Injektyvi?
f(2) = f(3) = b → neinjektyvi
Siurjektyvi?
kiekvienas B elementas pasiekiamas → siurjektyvi
Atsakymas
siurjektyvi, ne injektyvi
Atsakymas
siurjektyvi, ne injektyvi
5.Grafų teorija
Atsakymas: H = 60
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Suskaičiuokite
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
Atsakymas
H = 60
6.Grafų teorija
Atsakymas: N = 2
Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.
Gretimumo matrica
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0
Dar vienas žingsnis
(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 2·0 = 2
Atsakymas
N = 2
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: 12−1 mod 23 = 2
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Išplėstinis Euklido algoritmas
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·12 (mod 23).
r = 23, t = 0
r = 12, q = 1, t = 1
r = 11, q = 1, t = −1
r = 1, q = 11, t = 2
Atvirkštinė
1 ≡ 2·12 (mod 23)
x = 2
patikra: 12·2 = 24 = 1·23 + 1
Atsakymas
12−1 mod 23 = 2
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: d = 493
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.